τὴ ο σο',τετραγώνου ἐπίζευξις, τῆ ἀγὰ διαμέτρω διαιρεθήσεται εἰς δύο τρίγωνα ὀρθογώνια, τὸ,τεα βγ, καὶ τὸὰ δγ. ὥστε ἀναιρουμένου μὲν τοῦ τετρα γώνου, οὐκ ἀναιρεῖται τὸ τρίγωνον. τριγώνου δὲ ἀναιρεθέντος, ἀδύνατον εἶναι τετράγωνον. ὥστε πρῶτον τῆ φύσει τὸτρίγωνον τοῦ τετραγώνου. τῶ αὐτῶ δὲ τρόπω καὶ τῶν λοιπῶν πάντων εὐθυγράμμων σχήμα-των πρῶτον δειχθήσεται. πενταγώνου φέρε εἰπεῖν, καὶ ἑξαγώνου, καὶ τῶν λοιπῶν. ἕκα-στον γὰρ τούτων, εἰς τρίγωνα διαιρεῖται. εἰ οὖν τὸ μὲν τρίγωνον πρῶτον, τὸ δὲ τετράγωνον καὶτὰ λοιπᾶ δεύτερα, τὸ ἄρα κατὰ τούτων κοινῶς κατηγορούμενον, λέγω δὴ τὸ σχῆμα, οὐκἔστιν αὐτῶν γένος. οὐκοῦν οὔτε. ταῦτα ἐκείνου εἴδη. λείπεται τοίνυν μὴ κυρίως εἰρηκέναιτὸν πορφύριον τὸ τρίγωνον τοῦ σχήματος εἶδος. πρὸς τοῦτο πάντες ἠπορησαν ἀπολογιας οἱ ἐξηγηται. καὶ φασὶν αὐτὸν ὑποδείγματος χάριν, κατὰ χρηστικώτερον γένος καλέσαιτοῦ τριγώνου τὸ σχήμα. ἐπιλυόμενοι δὲ ἡ μεῖς τὴν ἀπορίαν, φαμὲν, ὅτι εἰ μὲν στοιχεια ἣντωόν τι τοῦ τετραγώνου τὰ τρίγωνα, ὡς μὴ ἄλλως τετράγωνον ἐνδέχεται γενέσθαι εἰ μὴ ἐκτριγώνων συγκειται, ὡς καὶ ἐντιμαίω δοκεῖ λέγειν ὁ πλάτων, πάντα τὰ εὐθυγράμματα ὡς εἰς στοιχεῖα ἁπλούστατα τὰ τρίγωνα ἀναλύων, ἀληθὲς ἂν ἣν τὸ λεγόμενον. καὶπρῶτον ὑπῆρχε τῶν σχήμάτων τὸ τρίγωνον, καὶ οὐκ ἂν ἣν τὸ σχῆμα γένος αὐτῶν, εἴπερ ἀληθὲς ὅτι ἐν οἷς τὸ πρῶτον καὶ τὸ ὕστερον, τούτων τὸ κοινῶς κατηγορούμενον οὐκ ἔστι γένος.νῦν δὲ οὐδεμία ἐστὶν ἀνάγκη ἵνα γένηται τὸ τετράγωνον, τῶ προ ὑποκεῖσθαι τρίγωνον. εἶτατῆ συνθέσει τούτων τὸ τετράγωνον γίνεσθαι, ὡς ὁ εὐκλείδῆὴς ἐν τῶ τεσσαρακοστῶ ἕκτωαὐτοῦ θεωρήματι, ἄνευτριγώνου τὸ τετράγωνον δι' εὐθείας ἀναγράφειν διδάσκει. οὐδὲνγὰρ κωλύει καὶ τριγώνου μὴ ὄντος, τέσσαρας εὐθείας ἐπιζεύξαντας ποιῆσαι τετράγω-νον. ὥστε οὐκ ἀληθὲς τὸ ἀναιρουμένου τοῦ τριγώνου, συναναιρεῖσθαι καὶ τὸ τετράγωνον. εἰ δὲὅτι τὴν διάμετρον ἐπιζεύξαντες διαιροῦμεν τὸ τετράγωνον εἰς δύο τρίγωνα, διὰ τοῦ-τὸ φασὶ πρῶτον εἶναι, καὶ οἷον στοιχειον, ἡ μέρος τοῦ τετραγώνου τὸ τρίγωνον, ἐπειδὴ ἐνδεχε.ται τὸ αὐτὸ τετράγωνον, καὶ εἰς δύο ἑτερομήκη διελεῖν τας ἀντικειμένας πλευρὰς δίχαδιαιροῦντας καὶ ἐπιζευ γνύντας. οἷον, ἀπὸ τοῦα, ἐπὶ τὸ β. καὶ ποιῆσαι δύο ἑτερομήκη χωρίατὸ γ καὶ τὸ δ. λέγέτωσαν καὶ τὰ ἑτερομηκη πρῶτα εἶναι τοῦ τετραγώνου. οὕτω δὲ καὶ τὸἐναντίον τὸ τετράγωνον πρῶτον ἔσται τοῦ ἑτερομήκους, εἰ ἑτερόμηκες τὸ τὴν μίαν ἔχον πλευρὰν διπλασίονα τῆς ἑτέρας διέλωμεν δίχα εἰς δύο τετράγωνα. ἀλλὰ δὴ καὶ εἰ τοῦ κύ-κλουτὴν διάμετρον τίς ἀγάγη, διαιρήσει τὸν κυκλον εἰς δύο ἡ μικύκλια, τό, τεα, καὶ τὸ β-καὶ δῆλον ὅτι ἕκαστον τῶν ἡμικυκλίων, σχῆμά ἐστιν ἐκ περιφερείας τῆς τοῦ ἡμικυκλίουγραμμῆς, καὶ εὐθείας τῆς διαμέτρου συγκειμένης. ὥστε συμβήσεται τὸ ἁπλοῦν σχῆματον κύκλων ἐκ μικτῶν ἡμικυκλίων συγκεῖσθαι. καὶ τοῦ ἁπλοῦ λέγω τοῦ κύκλου, πρῶτονφύσει ἔσεσθαι τὸ μικτόν. ὥσπερ οὖν ἐπὶ τούτων ἡ ἐπίνοια ἡ ἡμετέρα τὴν τοιαύτην ποιεῖταιδιαίρεσιν, καὶ οὐχὶ διατοῦτο, ἀνάγκη τοῦ τετραγώνου πρῶτα εἶναι τῆ φύσει τὰ ἑτερομήκη.ἐπειδὴ καὶ τὰ ἑτερομήκη ἐν δέχεται διελεῖν εἰς δύο τετράγωνα, εἴπερ ἡ ἑτέρα τῶν πλευ-ρῶν διπλασίων ἡ τῆς ἑτέρας. εἰ γοῦν πάλιν τοῦ κύκλου τὰ μικτὰ σχήματα ἐξ εὐθειῶν καὶπεριφερειῶν συγκείμενα πρῶτά ἐστιν, οὕτω δὴ τὸ τετράγωνον ἐνδέχεται τῆ διαμέτρω