io5

dv

m 2 ab dt

a s Cos 5 t [/m + b* Sin 1 t j/'m

in dem Ausdrucke f = \ J r’ Av der Fläche des elliplischcn Sec-tors , sO erhält man

f = y f m 2 . ab dt = J m 2 . ab t

oder diese Flächen verhalten sich wie das Produkt der beydenAchsen in die Zeit, in welcher sie beschrieben werden.

I. Die Auflösung dieser Aufgabe läfst sich aber auch unmit-telbar aus den beyden oben gegebenen Gleichungen

f,Sx ,

d F T + mX ’ o =

dt 5

+ rny

ableiten, wenn man bemerkt, dafs ihre zweyten Intcgralien sindx = A Cos t [/"ln —D Sin t [/Tuy = A'Cos t [/m —13 Sin t J/^m

wo ABtVB' die vier Constanten der Integration sind.

Für t = o gehen diese Integrale x — A , y = A' und wennman sie einmal dilferentiirt, und nach der Differentiation wieder

dx t dy

t = o setzt, so hat man . - =—B !/m und — =-—B'l/n^wor-

dt y dt v

aus folgt, dafs A, A / die Coordinaten des Körpers im Anfängeseiner Bewegung, und dafs — B J/'m und — B' J/'m die anfäng-lichen Geschwindigkeiten desselben nach der Richtung,der xundysind. Setzt man daher diese vier Constanten als gegeben voraus,so Avird man aus ihnen leicht die Elemente der Bahn ableiten.Multiplicirt man endlich die erste jener zwey Integralgleichungendurch A', und die zweyte durch —• A, so gibt ihre Summe,

o = A'x•—A y -f- (A'B—AB') Sin t J/mund eben so

o = BCx—By (A'B—AB^Costj/m

Eliminirt man aus diesen beyden Gleichungen die Grüfse l [/In ,so hat man

( A' 5 +B' 5 ) x 5 + (A 15 -+-B 5 ) y=— e (A A'-J-B B') xy = (A B'—A'R) 5

die Gleichung der Bahn , die also für einen Kegelschnitt, undda dieser nach allen Seiten begränzt ist, für eine Ellipse gehört,Avie zuvor gefunden wurde. Man kann noch bemerken , dafs sichdie Gleichungen (3) und (4) auch sehr leicht in einfache Reihenentwickeln lassen. Die letzte gibt so

v —a = t [/'in—P Sin 2 t [/"in-f-£ P 5 Sin/|. l[/In—Jl’ 3 Sin 6 t [/in -j-