Man nennt eine solche Achse, welche durch die Rotationdes Körpers um sie keinen Druck leidet., eine fr eye Achse.Ein Körper wird sich also um jede seiner drey Coordinatcnaeh-sen x, y, z frey drehen können, oder jede dieser drey Achsenwird eine freye Achse seyn, wenn man hat

/xydm = o,/xzdm = o,/yzdm = o

I. Ein Körper, der um eine solche freye Achse rolirt, ohne dal»äufsere Kräfte auf ihn wirken, setzt seine Rotation um diese l’reyaAchse mit der einmahl erhaltenen Winkelgeschwindigkeit unver-ändert fort, und die Achse Lleibt unbeweglich, gleichsam alswenn sie befestigt wäre, ohne dafs eine Kraft, sie zu halten,erfordert wird. So sind z. 13. die drey conjugirten Durchmes-ser a, b, c eines homogenenEllipsoids zugleich die drey freyenAchsen desselben. Denn nimmt man diese Durchmesser für dieAchsen der x, y, z, so fällt der Anfangspunkt dieser Coordina-ten in den Mittelpunkt des Körpers, welcher zugleich der Schwer-punkt desselben ist, und man hat für die Gleichung seiner Ober-fläche

a'b ! z’ a 3 c 5 y 3 -{- b 3 c 3 x s = a 3 b 3 c 3

Jede der drey coordinirlen Ebenen der xy, xz, und yz theiltdiesen Körper in zwey gleiche und ähnliche Hälften. Betrachtet, manalso z. B. irgend ein Element dm des Körpers üb er der Ebeneder xy, zu welchem die drey Coordinalen x, y, z gehören, sowird es immer ein anderes, jenem an Masse gleiches Elementunter der Ebene xy geben , dessen Coordinaten x, y, und — zsind, so dafs die Diffcrenzialien x z dm , und y z dm , welche zudiesen beyden Elementen gehören, für die erste xzdm und— xzdm, und für die zw'eyte y zdm, und — yzdm seyn w er-den, wo daher jedes der beyden lntegralien/x z dm und./'vz dmdie Summe einer unendlichen Anzahl von DifTerentialien ist, diesich gegenseitig paarweise aufheben , so dafs also diese beydenintegralien J x z dm und ,/'y z dm , und eben so auch ./‘sv dm fürdiesen Körper immer gleich Null seyn werden, wenn nur dieAchsen der x, y, z den Durchmessern a, b, c parallel sind,und beyde sich in dem Mittelpunkte oder dem Schwerpunkte desKörpers schneiden.

§•. 2 .

Es sey die Gleichung der Oberfläche eines Körpers durchdrey willkührliche senkrechte Coordinaten x , y , z gegeben ,die sich in dem Schwerpunkte des Körpers durchschneiden. Mausuche die Lage der freyen Rotationsachse desKürpers gegen jenedrey gegebenen Coordinatenachsen der x, y , z.

Zu diesem Zwecke wollen wir zuerst die drey senkrechtenCoordinaten x, y, z auf drey andere ebenfalls unter sich senk-rechte Coordinaten x', y', z' bringen, die denselben Anfangs*{»unkt haben, und so liegen, dafs die neue Ebene x'y' getieuUl. E