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also auch

welches die gesuchten Gleichungen der kürzesten Linie auf dergegebenen Fläche sind.

I. Man kann diese Gleichungen noch durch eine andere Be-trachtung linden, die ebenfalls der Mechanik angehört.

Ist wie zuvor, u — o die Gleichung der Fläche, so ist dieGleichung der diese Fläche tangirendcn Ebene

* (£)+ y GD+ a Gg)+“ = o --

Die kürzeste Linie, welche auf dieser Fläche zwischen zwey ge-gebenen Punkten gezogen werden kann, wird die seyn, welcheein auf dieser Fläche zwischen jenen Endpunkten frey ge-spannter Faden beschreibt, d. h. ein so gespannter Faden,dessen Elemente alle im Gleichgewichte, in Ruhe auf der Flächeliegen. Dieses Gleichgewicht wird aber nur dann Statt haben, wennder Druck, der aus der Spannung des Fadens auf die Fläche ent-steht, in allen Punkten des Fadens senkrecht auf die Fläche , oderin der Richtung des Krümmungshalbmessers der Fläche liegt.Die gesuchte kürzeste Linie wird also die Eigenschaft haben, dafsihre Krümmungshalbmesser alle senkrecht auf die Fläche sind. Sey

x-j-Ay +Bz = o.(2)

die Gleichung der Ebene des Krümmungskreises der gesuchtenCurvs , so hat man auch

dx -J- A dy 4 “ B dz = oA d a y -J- Ed 5 z = oworaus man für A und B die Werthe erhält

dxd 5 z dxd 2 y

A = -, B =— _-

dzd-y — dyd'z dzd“y—dyd s z

Da aber nach dem Vorhergehenden die berührende Ebene unddie Ebene des Krümmungskreises auf einander senkrecht stehenmüssen, so werden sich die Ebenen (1) und (2) unter rechtenWinkeln schneiden, welche Bedingung durch folgende Gleichungausgedrückt wird

(£>+*G“)+"(£)=•

Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem Differential der Glei-chuilg (1) oder mit

(£>+Gv) *+(£)*=•