f

5. Sm ,Jv ds =

S dm (dx §x -f- dy 5y-f- dz bz)

dt

Setzt man endlich noch voraus, dafs auch für den Endpunkt desIntegrals f v da die Gröfsen Sx , Sy, § z, verschwinden, so ist

das lieifst: die Variation der Gröfse Sm. fv ds ist für diesen Fallgleich Null, also diese Gröfse seihst ein Gröbstes oder ein Klein-stes.

Wenn daher die Körper eines Systems von inneren Kräften,oder auch von solchen äufscrcn Kräften, die blofse Functionenihrer Entfernungen sind, getrieben werden , so verhallen sich dieCurven, welche von diesen Körpern beschrieben werden , unddie Geschwindigkeiten, mit welchen sie beschrieben werden,immer so, dafs die Summe der Producte jeder Masse , mullipli-cirt in das Integral fv ds ein Maximum oder ein Minimum ist, vor-ausgesetzt, dafs man den Anfangs- und Endpunkt der Curve alsgegeben, also die Variationen der Coordinaten für diese beydenäulsersten Punkte als Null betrachtet. Diese allgemeine Eigen-schaft der Bewegung heilst der Grundsatz der kleinstenWirkun g.

I. Dieser Grundsatz ist sehr allgemein, und er enthält diegesammte Theorie der Bewegung, wie man leicht auf folgendeArt zeigen kann.

Da , wie bereits erinnert wurde , das Zeichen S von / und Sunabhängig ist, so ist

Sm fv ds = Srn./iS' (y ds) = Sm/' (ds Sv -J- v ci'ds) = qDer erste Theil dieses Ausdruckes ist

Sm /ds S v = Sm fv dv .dt — f dt. S m . v dyAber nach §. 3. ist Sv 2 m = 2 A — 2 STIm, wod/7 = P dp + Q dq +

also ist Sm .vSv = — Sei 1 TT m = — S(P dp -(- (j) dq -|-) . mDer zweyte Theil jenes Ausdruckes ist Sm/jxSi'ds, oder

S. Sm . f v ds = o

Sm fv

dx dfix + dy döy -f- dz dSz

■)

v

ds '

'dx d5x -f- dy d 5 V + dz d5z

dt

5x — /dx d

also der zweyte Theil