Eliminirt man aus diesen drey Gleichungen die zwey Gröfsendp. dq , so erhalt man

(a 1 [i" — a"ß') dx -f- (a" ß — aß") dy (aß/— a‘ ß) dz = O

Die Gleichung einer Ebene, in ■welcher bekanntlich immer dieCoefficienten von dx, dy, dz die Cosinus der Winkel sind, welchediese Ebene in derselben Ordnung mit den coordinirten Ebenender yz, xz und xy bildet. Daraus folgt, dafs jedes Element dSder gegebenen Fläche zu seinen Projectionen in den coordinirten.Ebenen der yz, xz und xy in derselben Ordnung die Ausdrückehabe

(a'ß"— a"ß‘) dp dq, (a"ß — aß") dp dq, (a ß'—a'ß) dp dq ,und da bekanntlich das Quadrat jeder ebenen Figur gleich derSumme der Quadrate ihrer Projectionen auf drey unter einan-der senkrechten Ebenen ist, so hat man für das Element derFläche des gegebenen Körpers

dS = dp dq. [/ [(a' ß" — a"ß / )’ 1 -)-(a"ß—-a ß") - -J- (a ß*— a 1 ß)~~\Nähere Anwendungen dieser Ausdrücke werden wir weiter un-ten kennen lernen.

III. Wendet man das "Vorhergehende auf die Bestimmungder Coordinaten X Y Z des Schwerpunktes an, so hat man,wenn $> die veränderliche Dichte des Körpers bezeichnet, nach

fi. 10 . VI.

v ///*«( fff y dK // 7 z dK

A ~ K ’ K ’ K ’

wo K —JJJq r 3 Sin 3 dr d3 dw

und da man nach der oben angenommenen Bezeichnung der Gröf-sen 3 und w hat

x = r Sin 3 Cos w, y = r Sin 3 Sin w und z = r Cos 3so erhält man für die gesuchten Coordinaten des Schwerpunktesfff f r 3 . Sin 3 3 Cos w . dr d3 dwJ'J'J ^ r 3 . Sin 3 dr d3 dwJ'ffgv*. Sin 3 3 Sin w dr d3 dwJ'J'J'$ r 3 . Sin 3 . dr dj dwJff ? r3 Sin $Cos 3 dr d3 dwJfj ? r 3 Sin 3 dr dS dw

Alle diese Integralien werden von w = o bis w = 36o dannvon bis 3 = 180 und endlich von r = o bis zu dem Werthe

von r genommen , der zu irgend einem Punkte der Oberflächedes Körpers gehört.

Suchen wir zum Beyspiel den Schwerpunkt eines Kugelaus-schnittes , zu welchem der Halbmesser a und der Winkel 2 a der