43

ihre Entfernungen von demPunkte A gleich A m = An = y — (lrsind, und zieht man dann aus demselben Mittelpunkte A wiedervier Kreisbogen, deren sich je zwey in m und n unter rechtenWinkeln schneiden , so erhält man eine andere Pyramide , derenBasis (r-—dr) 3 dSdwSinä, und deren Höhe r—dr , deren kör-perlicher Inhalt also gleich (r — dr) 5 dädw Sin 9 ist.

Die Differenz der beyden Pyramiden isti' 3 — (r—dr) 3

3

dj dw Sin 9.

oder .wenn man die Differentialien der vierten und höheren Ord-nungen wegläfst

dK = r 3 Sin 9. dr d^ dw

und dieser Ausdruck kann eben sowohl als das Element des gan-zen Körpers angesehen werden, wie zuvor der unendlich kleineWürfel dxdydz.

I. Es gibt noch ein anderes allgemeines Verfahren,diese Verwandlung der Coordinatcn vorzunehmen. Hätte manz. B. den Ausdruck U dxdy dz , wo U eine Function vonxyzist,in einen gleichbedeutenden zu verwandeln, der von den neuenCoordinaten rwi abhängt, so wird man annehmen

dx = a d 3 -f- ß dw -J- cy drdy = a / d&-f- ß' dw -f- cy / drdz = ct^d-t-f-ß^dw -f- t y // dr Jwo a a .!.. Functionen von r w 9 sind.

/

Da nun der Ausdruck ./7’/ Udx dy dz dreymahl integrirt wer-den soll, das erstemahl z. B. in Beziehung auf x, das heifst inBeziehung auf y = z = Const. oder auf dy ■= dz = o, so fin-det man den entsprechenden Werth von dx durch folgende dreyGleichungen

dx = ct d 9 -[- ß dw -J- cy dro = ct'dS-f-ß^dw-|-«yMr0 = a J/ äS -j- ß'dlw -|- «y^dr

Eliminirt man nun aus diesen Gleichungen die Gröfse dwund dr, und setzt man der Kürze wegen

T =so ist

a (ß'iyU —ß //r yO + ß (a //c y'— a'cy/t) -J- cy (a< ß" — ct" ß'~)

dx =

T , d()

ß/ r yU ß// cy<

und dieser Werth von dx bringt das Produkt dx dy dz auf diedrey variblen Gröfsen S, y und z. Gin weiter eben so dy zufinden, wird man d9 = dz = o setzen, wodurch die zwey letz-ten die Gleichungen (1) werden.