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K =

bxa * b x

“3 Va’-x» i- — Are Sin -

bx 3

b a

Log

a + v/a 3 —x a

X

für den Theil des Yolums des Kegels, der zwischen zwey aufder Achse der x senkrechten Ebenen enthalten ist, deren dieeine durch den Mittelpunkt der Basis , und durch die Spitze desKegels geht, und die andere um die Gröfse x von der erstenentfernt ist. Setzt man in dem letzten Ausdrucke x — a, so er-

hält man den vierten Theil des Kegels ——-, also den ganzen2 n a ! b. 2

Der berühmte Kepler gab sich (Nova stereometria do-li or um) viele Mühe, den körperlichen Inhalt eines solchenKegelabschnittes zu linden, ohne seinen Zweck zu erreichen,da zu seiner Zeit die höhere Geometrie noch sehr unvollkom-men, und die eigentliche Analysis des Unendlichen noch ganzunbekannt war.

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Es gibt aber noch eine andere Art, diese Integration auszudrü-cken, die oft viel bequemer ist als die vorhergehende.

Aus irgend einem willkührlichcn Punkte A im Innern desKörpers denke man sich eine gerade Linie r an irgend einen an-dern willkührlichcn Punkt M der Oberfläche des Körpers. Sey3 der Winkel der r mit der Achse der z , und w der Winkel derProjection von r auf der Ebene der xy mit der Achse der x.Man ziehe aus dem Punkte A als Mittelpunkt mit dem Halbmes-ser r zwey unter einander senkrechte Kreisbogen , die sich indem Punkte M unter einem rechten Winkel schneiden, und vondenen der eine senkrecht auf der Ebene der xy steht, währendder andere mit dieser Ebene parallel ist. Durch einen andernPunkt N der Oberlläche des Körpers, welcher dem vorherge-henden Punkte M unendlich nahe ist, ziehe man aus demselbenMittelpunkte A und mit demselben Halbmesser r zwey andereunter einander senkrechte Kreisbogen , welche die beyden vor-hergehenden Kreisbogen in den Punkten M' und N' schneidensollen. Die Ebenen dieser vier Kreise begränzen einen Theil desKörpers, der die Gestalt einer Pyramide hat, deren Scheitel dergemeinschaftliche Mittelpunkt A aller dieser Kreise , und derenBasis der Theil M N M / N / der Oberlläche des Körpers ist, undman sieht leicht, dafs man hat MM 7 = NN' = rd 9 und MN'= NM' — r Sin 9dw, so dafs also die Fläche der Basis der Py-ramide durch den Ausdruck r s d9 dw Sin & dargestellt werdenkann. Da aber die flöhe dieser Pyramide gleich r ist, so ist derkörperliche Inhalt derselben -i r 3 d9dw Sin 9.

Denkt man sich aber in dem Halbmesser AM und AN zweyandere Punkte m und 11 , welche den vorhergehenden M und Nunendlich nahe und in dem Innern des Körpers liegen, so dafs