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tcn, das Kugclstücli bekränzenden Ebene von dem Mittelpunkteder Kugel, so ist der Werth von X zwischen den Gränzen x==Aund x = B genommen

X

a“ (A-B)_i(Ä»—il»)

3

— T

(A + B)

ca-—A-—B*3a 2 —A 2 —B 2 —AB

und dieses ist die gesuchte Entfernung des Schwerpunktes desgegebenen Kugelstückes von dem Mittelpunkte der Kn geh Für

3a

die Halbkugel ist A = o und ii = a also X = -r-, und für die

ö g

ganze Kugel ist A = B = o, also auch X = o.

Nicht weniger einfach ist die Bestimmung des Schwerpunk-tes auch für alle diejenigen Körper , die wenigstens in Beziehungauf eine einzige ihrer drey senkrechten Achsen symmetrisch sind.I) enn ist dieses z. K. die Achse der z , so kann man den Körperdurch unendlich viele Ebenen, die alle auf diese Achse der zsenkrecht stehen, in seine Elemente zerlegen, und jedes die-ser Elemente als einen Cylinder betrachten, dessen Höhe gleichdz , und dessen Basis der Durchschnitt W des Körpers mit einerjener Ebenen ist, so dafs das integral/Wdz zwischen z — A. undz =. B genommen , das Volum des Körpers ausdrückt, welcheszwischen den zwey auf die Achse der z senkrechten Ebenen ent-halten ist, deren Abstände von dem Anfangspunkte der Coordi-naten A und B sind. Da dann der Schwerpunkt dieses Theilesdes Körpers w r egen seiner vorausgesetzten um die Achse der zsymetrischen Form in dieser Achse selbst liegen mufs , so hatman für den Abstand des Schwerpunktes von dem Anfangspunkteder Coordinaten

/Wz dz

/WdT

Um auch dieses durch ein Beyspiel zu erläutern , so wollen wirden Schwerpunkt eines Eilipsoids suchen, dessen drey Achsenab c sind. Die Gleichung der Oberiläche dieses Körpers zwi-schen den jenen Achsen parallelen Coordinaten x y z ist bekanntlich

n 2 ~ 1.2 ~ .. 3

1

Der Schnitt dieses Eilipsoids mit einer der xy parallelen Ebene,deren Abstand von dem Anfangspunkte der Coordinaten gleich zist, hat zur Gleichung

^ +a 2 ~ b 2

Dieser Schnitt ist also eine Ellipse , deren halbe Achsen