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auf einige besondere Fülle anzuwenden , -wollen wir zuerst JenSchwerpunkt eines Kreisbogens suchen, dessen Lünge b undder Halbmesser des Kreises a seyn soll. -— Nimmt man den An-fangspunkt der Coordinaten in dem Mittelpunkte des Kreises,so hat man nach fi. 10. JIl

X =

/xd s

/yds

Z ^ o

und wenn man für die Achse der x den Halbmesser annimmt,welcher durch die Mitte des Kogens b geht, so ist offenbar auchY = o, weil der Schwerpunkt in diesem Halbmesser liegen mufs.Wir haben daher zur Bestimmung der Lage des Schwerpunktesdie einzige Gleichung

Es ist aber x = a Cos — und daher, wenn man von sa

bis s — — £ b integrirt.

1 r +\b s _ 2a* b

b J -ji, a b

+ ib

ua

Da aber, wenn c die Sehne des Bogens b bezeichnet, c =

aa Sin — ist, so hat man auch X = oder die Distanz des Schwer-2 a b

punktes vom Mittelpunkte des Kreises ist die vierte Proportio-nale zu der Länge, der Sehne, und dem Halbmesser des Bogens.

I. Sucht man den Schwerpunkt einer ebenen Figur, diedurch die Achse der x und durch eine ebene Curve begrenzt ist,so hat man nach §. io. IV

v _/y xcTx T v .. i/y 2tTx

X — -- r —|— und 1 — —-—--

J ydx yydx

Für den Abschnitt des so eben betrachteten Kreises zwischender Sehne c und dem Bogen b, hat man, wenn inan wieder dieAchse der x auf dem Halbmesser annimmt, welcher den Bogen,also auch den Abschnitt des Kreises halbirt,

Y — o , und X = V/."- 3 —x°

i (»*—**)

/dx [/ a 2 —x

Das Integral des Zählers isty'xdx, ^/a 3 —x s

also auch dieses Integral zwischen x = a und x

genommen, gleich —. Nennt man also A=/ydx die Fläche