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Man denke sich das Pendel, dessen Länge gleich r ist, inder Ebene der xz um den Winkel u von der vertikalen Achse derz entfernt, und gehe ihm in dieser ursprünglichen Lage eineGeschwindigkeit a, die senkrecht auf diese Ebene der xz ist,dx dy ,

so hat man -r— = o und - r - = a, also geht die zvveyte derGlei-d t d t ° 1

chungen (V) in folgende über c / = ax , oder da x = r Sin o istin folgende c' = ar Sin a. Ferner ist eben so z=r Cos a , und

-j— = o, also die dritte der Gleichungen (Y) , . c = a 3 —2 gr Cos a.

Es sey nun für irgend eine Lage des Pendels 9 der Winkeldesselben mit der Vertikale, also z =. r Cos 3, so wird die Glei-chung (B)

— r Sin 3 . d3

dt = —;— . - - -

\/a 3 (Sin 3 3 — Sin 3 a) — 2 gr Sin 3 3 (Cos « ■— Cos 3)

oder wenn man die dritten Potenzen von Sin 3 3 und Sin 3 a ver-nachlässiget, und der Kürze wegen g = Sin 1 3 setzt,

— kr.df

dt = - , ~

a(/ — g 3 -j- g (k 3 -j- Sin 3 a) — k 2 Sin 3 «

wo k 3 = -- ist. Das Integral dieser Gleichung ist

a 3 + gr

kr i g —(k 3 -4- Sin 3 «)

t = — Are. Cos -—----

2 a Sin 3 a —k 3

da für 3 = a. oder für g = Sin 3 a die Gröfse t verschwindet. Esist aber bekanntlich

Are. Cos (2 x 2 — 1 ) = 2 Are. Cos xzg- —k* — Sin 3 o

Setzt man daher 2 x 3 — 1 = —— 7 —- = -, so ist.

Sin - a —k 3

f—h 3Sin 3 o —lt 3

und daher auch die vorhergehende Gleichung

t

—■ Are. Cosa

Sin 3 3 —-k 3Sin 3 a —k 3

. . . (D)

I. Zur vollständigen Bestimmung der Lage des Pendels fürjede Zeit inufs nun noch der Winkel w als Funktion von t gesuchtwerden. Es war aber nach der Gleichung (C)

c' dt

dw = --

r 3 —z