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benen Momente die Masse des Körpers, multiplicirt in das Qua-drat der Entfernung des Schwerpunktes von der neuen Achseaddirt. So ist für die Kugel, deren Halbmesser a ist, wie wirbald sehen werden,

fr* dm == , und m = ^ ^ ■ , also ist auch das Moment der

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Kugel für eine Achse, welche die Oberfläche der Kugel tangirt,gleich

ÜTta 5 . /|?ra 3 28

1Ö

+

3'

= — sra 5

15

Nennt man überhaupt mld das Moment fr 3 dm für eine durchden Schwerpunkt des Körpers gehende Achse, so hat man

fr /s> dm = xn (k a -J- a*)

und da k° seiner Natur nach immer positiv seyn mufs , so siehtman, dafs. das Moment der Trägheit eines Körpers in Beziehungauf eine durch den Schwerpunkt gehende Achse immer kleinerist, als das in Beziehung auf jede andere mit jener parallelenAchse, und dafs endlich die Momente der Trägheit eines KörpersinBeziehung auf solche Achsen, die gleich weit von dem Schwer-punkte entfernt, und unter einander parallel sind, auch alleunter einander gleich seyn müssen.

§. 6 .

Ehe wir weiter gehen, wollen wir zuerst die Momente derTrägheit einiger Körper für besondere Fälle zubestimmen suchen.

I. Man suche die Momente der Trägheit eines rechtwinklich-ten Parallelepipedums.

Sind a b c die Längen der drey Seiten desselben , die mitden Achsen der x y z parallel sind, so ist das Volum des Kör-pers gleich abc, und diesem Ausdrucke ist auch die Masse m desKörpers proportional, wenn die Dichte desselben in allen seinenThcilen dieselbe ist. Das Moment der Trägheit in Beziehung aufdie Achse der z ist / (x 2 + y 2 ) dm oder fff (x* -j- y 2 ) dx dy dz.Integrirt man diesen Ausdruck zuerst in Beziehung auf z , vonz = o bis z = c, so hat man c . /7'(x 2 -|- y 2 ) dx dy; integrirtman diese Gröfse in Beziehung auf y von y = o bis y = b, so ist

c. y ( bx 2 -J- £ J dx; integrirt man endlich auch diese Gröfse

in Beziehung auf x von x = o bis x = a , so ist

/a 3 b ab 3 \

'•(t+t/*

also ist das Moment der Trägheitabc

der z gleich (a :

+ b 2 )= - (a

in Beziehung auf die Achse’ + b 2 ), und eben so in Be-