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und da hier (A — R) und (A — C), *o vvia Cos' ß und Cos' yimmer positive Gröfsen sind, so ist auch immer C' <( A. Istober C das kleinste der drey Momente A, B , C, so ist C' = C-J- (A — C) Cos 1 a -{- (B — C) Cos* ß und daher auch immerC' > C '

I. Sind für einen Körper die beyden Momente der TrägheitA und B einander gleich, so gibt die vofbergehende Gleichung

C / = A Sin 2 <y + C Cos 2 cy

also C 1 unabhängig von den JVinkeln a und ß. Nimmt man alsoan, dafs y ein rechter Winkel ist, d. h. dafs die Achse der zsenkrecht auf der Achse der vJ steht, so ist C' = A, oder dieMomente der Trägheit in Beziehung auf alle Achsen, die inder Ebene der x'y 1 liegen, sind unter einander gleich, und allediese Achsen sind fr eye Achsen, wie dieses der Fall mit dendurch Rotation einer Curve entstandenen Körpern ist (§, 2 .).Hätte man endlich A — B = C, so wäre auch allgemeinC' = A,oder dann sind alle Achsen des Körpers, die in irgend einerDichtung durch den Schwerpunkt desselben gehen, zugleich freyoAchsen, wie dieses z. B. mit der Kugel der Fall ist.

II. Kennt man das Moment der Trägheit eines Körpers inBeziehung auf eine Achse, die durch seinen Schwerpunkt geht ,so kann man daraus leicht auch das Moment der Trägheit fürjedp andere der ersteren parallelen Achse linden.

Sey z B. die erste gegebene Achse die der z, die also durchden Schwerpunkt geht, der zugleich der Anfangspunkt der Koor-dinaten seyn soll. Die zweyle der ersten parallele Achse soll dieEbene xy *in dem Punkte x = a , y = ß schneiden. Sey a dieDistanz des Schwerpunktes von dieser zweyten Achse , also a 2 =a*+ ß 3 . Sey ferner r die Distanz eines Elementes dm des Körpersvon der ersten , und r' von der zweyten Achse , also

r* = x 5 -f-y 2 und

r 3 =, (x — u)* —J— (y — ß) 2 , also auchr' J =- x ! -f y ä -j- « 2 + ß 3 — 3 ( a x + ß y)

= r 3 4- a 2 — 2(« x + ß y)

Multiplicirt man den letzten Ausdruck durch dm, und integrirt,so ist

fr' 2 dm = fr* dm -f- a */ dm — 2 ct/x dm — aß/"y dmDa aber der Voraussetzung gemäfs, der Schwerpunkt in derAchse der z liegt, so ist (Cap. I §. io. II)

/x dm — fy dm = o

ferner ist ./ dm = m die Masse des ganzen Körpers ,also auch fr 1 2 dm = fr 2 dnt -f- a s . mMan erhält also das gesuchte Moment, wenn man zu dem geg«-