Auflösung verschiedener besonderer Fälle. 421

beim 6ten Satze des 4ten Buchs erwähnten vortrefflichen Werksvon Gauß.

Es sei der Bogen — — P, so behaupte ich zuerst, daß

cos P-st cos JP-st cos 5P -stcos7P -stco» 9P -stcvs1lP-stcvs 13P -steoslZP—.s

ist. Denn, das erste Glied heiße man multiplicire säinmtlicheGlieder mit 2cosP, und verwandele jedes Product zweier Cosinus,vermittels der Formel

2cos ^ cos L — Los -st2) -st cos (4 — L),in Cosinus einfacher Bogen: so erhalt man:

2? cos P —1 -stLcos ZP 2co» 4P -st Lcos 6P.... -st Zcos 14P -s- cos 16P.

Da NUN 1 ?P —2p, so ist cos 2P —cos (2p—16P) —— Losl6y>,Los 4P —cos (2p — 13 P) ——Los 13 P, und so weiter, bis zucos 16 P—— cosP. Also ist

2? cosP —1 — Zcos 16P — Lcos 1ZP — Zcvs IIP ... . — ZcvsZP — cosP,oder 2?L0SP—1 -stcosP— 2?, oder 2l?(1 -stL0SP) — 1 -stoosP.Folglich ist z.

Nun theile man die Glieder von ? in zwei Theile, nämlich:x — cos 3 P -st cos 6 P -j- cos 7 P -st cos IIP,

— Los iP-st cos 9 P-st Los 13P-st cos 1ÜP ;

so ist x-stz^—Dann multiplicire man die vier 'Glieder von xmit den vier Gliedern von und verwandle die Producte der Co-sinus in Cosinus einfacher Bogen, so erhält man, nach gehörigerReduction,

X)' — 2(cos2 P -st cos 4 P-st cos 6 P .... -st cos 16 P)>oder x^ — — 2 (cos 16 P -st cos 13 P -st cos 11 P .... -st Los P);also x^—— 1.

Aus diesen beiden Gleichungen findet man

x—^-st^/17 und ^ 17.

Theilt man nun die Summen x und z-- von neuem in zwei Theile,nämlich:

X—s-stt, —n-st?,

s ^ cos 3 P-st Los 6 P, N— cosP-st cos 13 P,t — cos 7P-st cos 11 P; ^ — cos9P-st cos 16 P ;so findet man auf dieselbe Weise:

si—— U5 — —

so, daß sich die vier Größen s, t, n, e: mittels neuer Gleichungendes zweiten Grades finden lassen.

Ist endlich cos P-st cos 13P^--rr und cos P cos 13 P^^^ (cos 12P -st cos 14 P) — — ^ (cos 3 P -st cos 6 P) — —