Vorrede

zur zwölften Auflage des Originals.

Aa der Beweis der Theorie der Parallelen, so wie er sichin der 3^» Auflage dieses Lehrbuches, und in den folgendenAuflagen, bis zur 8^" einschließlich, findet, nicht ganz freivon Einwendungen war; so hatte man sich entschlossen, dieseTheorie, in der 9^ Auflage, wiederum beinahe ganz nachEuclides vorzutragen. Fernere Untersuchungen über diesenGegenstand, über welchen man hier in der 2^» AnmerkungAuskunft finden wird, hatten zu zwei neuen Beweisen desLehrsatzes von der Summe der Winkel eines Dreiecks ge-führt, die ohne Hülfe irgend eines Postulats gegeben wer-den. Man hat von diesen Beweisen denjenigen, der sich amwenigsten von der gewohnten Ansicht entfernt, und der außer-dem nicht schwieriger ist, als der frühere Beweis in denAuflagen 3 bis 8, in die gegenwartige Ausgabe aufge-nommen.

Eine zweite Abweichung der gegenwartigen Auflage vonder vorigen kommt bei den Sätzen von dem Inhalte derPyramide vor. Dieselben sind fast ganz so hergestellt wor-den, wie sie in der 1^'" Auflage dieser Elemente waren;aber mit Benutzung der glücklichen Idee des Herrn Querret,