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Trigonometrie. Anhang.

106. Der Uberschuß — —e, welcher der Fläche des Dreiecks

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proportional ist, läßt sich unmittelbar aus den gegebenen Stückendes, als geradlinig angenommenen, Kugeldreiecks berechnen. Sindnämlich die Seiten 6 und a nebst dem eingeschlossenen Winkel lZcgegeben, so ist « —sin^.. Ist eine Seite a, mit den beidenanliegenden Winkeln 0 und 0, gegeben; so ist der Inhalt «—

Hierauf ist x —— .k wenn H die Zahl der Secun-

LIN s!Z-si(d)

den eines Bogens bedeutet, dessen Länge der Länge des Halbmessersgleich ist. Auf diese Weise findet man e in Secunden.

Um diese Formeln auf ein, in der Oberfläche der Erde liegen-des, als sphärisch angenommenes, Dreieck anzuwenden, muß mansehen, daß die Seiten d, a sowohl, als der Halbmesser derErde r, in Metern ausgedrückt sind*). Da nun der vierte Theildes Meridians ä?rr—10000000 Meter ist, so ist loZr—6,8038801.Der Halbmesser U, in Secunden ausgedrückt, hat zum Logarithmen6,8038801. Rechnet man also zum Logarithmus der in Quadrat-metern ausgedrückten Fläche den constanten Logarithmus 2,196119,und zieht von der Summe die Zahl 10 ab, so findet man den Lo-garithmen des in Secunden ausgedrückten Ucberschusses r.

Kennt man auf diese Weise e, so ziehe man x von jedemWinkel des gegebenen Kugeldreiecks ab. Alsdann hat man, in dem

über den halben Umfang nr, zum ganzen Umfange 2>rr. Also ist —-—

2w?r

r -s- v -s- 0 — n) «

r-- —— , und folglich A-l-U-j-d— n— — , oder,

2nr r"

wcil-r — 2? ist, 2? — ^ -s» L 0 — , welches der obige Satz ist.

Bis hichcr ist der Satz nicht bloß annäherungsweise, sondern genau richtig.Die Annäherung erfolgt nun, erstlich, dadurch, daß mau den Inhalt desKugcldrcieckS dem Inhalte eines geradlinigen Dreiecks gleich setzt, dessen Sei-ten so lang sind, wie die Bogensciten des Kugcldrciecks; zweitens dadurch,daß man willkürlich den Ucberschuß der Summe der Winkel des Kngeldrciecksüberizwei rechte auf die 3 Winkel des Dreiecks gleich verthcilt; denn, daßman oben ^ ^ — rx, IU — IZ — ix, ^ (Z — ^ x findet, erfolgtauch nur durch willkürliche Wcglassungcn, weil man sonst für Winkel, dieungleichen Seiten gegenüber liegen, nicht das Nämliche finden könnte. Esscheint auch in der That genauer zu sein, wenn man den Ucberschuß e nichtaus die Winkel gleich verthcilt, sondern im Verhältnisse der gegenüberliegen-den Seiten. Anm. d. Uebers.

*) Bei geodätischen Operationen sind gewöhnlich die Scheitclpuncte derDreiecke vom Mircelpunctc der Erde ungleich weit entfernt. Durch gehö-rige Reduktion lassen sich, statt der beobachteten Dreiecke, diejenigen finden,welche, zwischen den Projectioncn der Stationen, auf einer und derselben,gegen die Richtung der Schwere senkrechten, Kugelflächc liegen.

Anm. d. Verf.