Auflösung verschiedener besonderer Falle. 417

Es stiA—A"-j-x, so ist, wenn man das Quadrat von x weglaßt,

cos A----Los — X siti Hch woraus folgte daß X—— siuAü

6r^

Da x gegen — und — von der zweiten Ordnung ist, so ist dieses

r r

Resultat bis in die vierte Ordnung genau. Also ist

A — -I- — sin Ast6r-

Aber ^bosiuLÜ ist der Inhalt eines geradlinigen Dreiecks, dessenSeiten u, b, c sind, welches Dreieck sehr wenig von dem gegebe-nen Kugeldreiecke abweicht. Heißt also dieser Inhalt so ist

oder —. Eben so würde

' 3r" 3r2 Zr-

— sein. Also ist A'-j-L'-s-kisi oder 2o^^->-L-I-v —— ;

3r" r"

folglich kann — als der Ueberschuß der Summe der drei Win-

kcl des gegebenen Kugeldrciecks über zwei Rechte angesehen werden.Daraus folgt nachstehender merkwürdige Lehrsatz, durch welchen sichdie Auflösung sehr kleiner Kugcldreiecke auf die Auflösung geradlinigerDreiecke bringen laßt.

Wenn ein Kugeldreieck gegeben ist, dessen Seitengegen den Halbmesser sehr klein sind, und man ziehtvon seinen Winkeln ein Drittheil des Ucberschussesder Summe der drei Winkel über zwei Rechte ab, sokönnen die auf diese Weise verkleinerten Winkel fürdie Winkel eines geradlinigen Dreiecks genommenwerden, dessen Seiten so lang sind, als die Seitendes gegebenen Kugeldreiecks. Oder anders:

Ein wenig gekrümmtes Kugeldrcieck, dessen Win-kel L, L und dessen, diesen Winkeln gegenüberlie-genden, Seiten », b, c sind, ist einem geradlinigenDreiecke gleich zu setzen, dessen Seiten die nämlicheLänge a, b, c haben, dessen, diesen Seiten gegen-überliegenden, Winkel aber A.—ix, Z — -^e, find,wo s den Ueberschuß der Summe der Winkel des Ku-gcldreiecks über zwei Rechte bezeichnet*).

*) Dieser Satz kann anch ohne Rechnung, unmittelbar aus dem ÄstenSatze im 7ten Buche, welcher den Inhalt eines Kugeldreiccks aus dessen Win-keln giebt, gesunde» werden. Denn, zufolge jenes Satzes verhält sich dieFläche des Kugeldreiccks « zur halben Kugelfläche Lr^-r, wie der Ueber-schuß der Summe der Länge der Seite» des Dreiecks r (.V -j- lZ -st L),

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