41V Trigonometrie. Anhang.

V. Auflösung von Kugeldreieckcn, deren Seiten, imVerhältnis zum Ku gelh albmc ss er, sch r klein sind.

IvZ. Wenn die Seiten o, d, e gegen den Kugelhalbmessersehr klein sind, so ist das gegebene Dreieck von einem geradlinigenwenig verschieden. Betrachtet man es wirklich als ein solches, soerhalt man eine erste Annäherung. Man laßt aber dann den Ueber-schuß der Summe der Winkel über zwei rechte weg. Um sich derWahrheit mehr zu nähern, muß man noch diesen Uebcrschuß, wiefolgt, in Rechnung bringen.

Der Halbmesser der Kugel, in welcher das Dreieck liegt,sei r. Stellt man sich ein ahnliches Dreieck, auf einer an-dern Kugel beschrieben, vor, deren Halbmesser — 1 ist, so

sind die Selten dieses Dreiecks — und es ist

r r r

a t) e005 — 005 — 008 —

r r ?

. d . o8111 — 8111 —r r

Da nun aber a, d, e gegen r sehr klein sind, so ist, sehr nahe,

a ^ o» b b- b»

— — 1 l : cos — 1 l- — :

r Lr2^2.Z.4r^' r 2.-2^2.3.4^'

e «2 ^ b b b^ . e c

l'08—^.1—. : SIN— ; 8IN— - .

i- 2.-^2.3.4..^' r r 2.3.-.-' r 2.3.^

Substituirt man diese Werthe in obige Gleichung, und läßt dieGlieder mit mehr als vier Abmessungen weg, so erhält man

b2-st<.2— ^2 ^ x .4— b^-stc^ 32 «2

24,^ ' 4r^

der-

e / I>2 x2 x

Multiplicirt man diesen Bruch, oben und unten, mit 1-j-——

6.2

und reducirt, so erhält man

, b^-stx- 2»2 1)2 2»2 «2 21)2^2

cos L.— . "st ! ! .

2bc 24b er2

Nun sei, in dem geradlinigen Dreiecke, dessen Seiten, an Länge,den Bogen o, b, e gleich sind, ^ der Winkel, welcher der Seite n

gegenüber liegt; so ist co, ^ ^ und

— 2-r2Ist-s-.2o2()2-st2d>'-a'—V—oss also ist

bl!

oos — oos sin Lsi'.

6.2