4t>4

Trigonometrie.

abgeleitet werden, so, daß es also eigentlich bei der Auflosung vonKugeldreiecken nur drei verschiedene Falle giebt. Der erste Falllaßt sich durch eine einzige Gleichung auflosen, wie bei geradlini-gen Dreiecken; der dritte sast eben so leicht durch die NeperschenGleichungen. Der zweite erfordert zwei Gleichungen, und hatzuweilen zwei Auflosungen, wahrend der erste und dritte nie mehrals eine Auflösung haben.

Fig. 16. 90. Um im zweiten Falle zu sehen, ob für beson-dere Werthe von A, a, b zwei verschiedene Dreiecke Statt finden,welche der Aufgabe genug thun, oder nur eines, setze man denWinkel A -< 9, und verlängere die beiden Seiten AU und AU, bissie sich zum zweiten Male in AI schneiden. Macht man den BogenAU-<9, und zieht UO auf AU senkrecht; so sind beide SeitenA.O und UV, des rechtwinkligen Dreiecks ADO, kleiner, als 9;die Linie UO ist die kleinste Entfernung des Puncts U vom Bo-gen AU, und, wenn man OL'— OU macht, so sind die schrä-gen Linien UU' und UU einander gleich, und beide um so langer,je weiter sie sich vom Perpendikel entfernen. Es sei AU — d,UU —a; so hat offenbar das Dreieck, in welchem A-<9, b-<9und a-<1>, zwei Auflösungen AUU und AUU'; aber, sobald a>1,,wahrend A und I, kleiner als 9 sind, fallt der Punct U' über Ahinaus, und es giebt nur eine Auflösung AUU.

Ferner sei AU'> 9. Zieht man U'O' auf AUA' senkrecht, soist U'O'-<A'U', und der Bogen U'U'", zwischen O' und A', ist

> U'O' und >- U'A'. Macht man also AU' — l,> U'U" — U'U"'— a; so läßt die Boraussetzung A-<9 und >->9 offenbar zweiAuflösungen zu, sobald aber nur eine, wenn asi-b

> 29 , weil alsdann der Punct U'" über A' hinaus fällt. Unter-sucht man auf gleiche Weise den Fall, wenn der WinkelA>>9 ist, solassen sich auch die Kennzeichen finden, welche entscheiden, ob indem zweiten Falle zwei Auflösungen Statt finden, oder nur eine.

. t hat eine Auflösung;

^ ^ a<jk hat zwei Auflösungen;

t a -st I, >- 29 hat eine Auflösung;^ ^ ^ a-h-d-<29 hat zwei Auflösungen;

^ a ff-l>>29 hat zwei Auflösungen;^ t a-i-b<29 hat eine Auflösung;^ i a>-b hat zwei Auflösungen;^ hat eine Auflösung.