398 Trigonometrie.

Da NUN allgemein r cos p si- rcosg — 2 cos(p-st g).cos ^ (o—g) ist (38), so reducirt sich die Gleichung auf

«In -z ^ cos-st L -st c?) cos z (k (Z — ä.)

sin IZ sin O

wobei zu bemerken, daß das zweite Glied, obgleich es das Zei-chen — hat, dennoch immer positiv ist. Denn es ist allgemein

SIN X cos 9 — cos X sin 9

sin (x —9) —' — — cos x; also ist

-cos z(-4-stIZ-st(Z)^siu z (^-stL-st E) —9), welche Größeimmer positiv ist, weil iZ-st IZ-st (Z immer zwischen 29 und 69,und folglich !-(it.-st!Z-st<Z)— 9 immer zwischen 0 und 29 liegt.Eben so ist eos^(IZ-stL—L) immer positiv, weil L-sttZ—^nicht größer als 29 sein kann. Denn, in dem Polardreiecke istdie Seite 29 —iZ kleiner, als die Summe der beiden andern2p—L und 29 —(st also ist 29 —^-<49—IZ—(st oder IZ-stO- < 29.

Da auf diese Weise das obige Resultat immer positiv ist,so hat man, um eine Seite aus den Winkeln zu finden, die Formel:

.si— cos 4 -st L -st e) cos r (L -st v —sin if a — r V — ^

^ SIN L SIN (st

82. Ehe wir weiter gehen, ist zu bemerken, daß aus die-sen allgemeinen Formeln diejenigen für rechtwinklige Dreiecke her-geleitet werden können H. Man mache zudem Ende iZ—9, sowohlin den vier Hauptformeln, als in den übrigen, welche daraus durchVerwechslung der Buchstaben entstehen. Zunächst giebt die Gleichungcossind siu c —r' cos a— r cosd cos c, durch diese Substitution,

1. r cos a — cos I> cos c.

Die aus der allgemeinen Gleichung abgeleiteten Gleichungen enthaltenkein ist und geben also für den Fall, wo ^—9 ist, nichts Abweichendes.

? sin ^ sin IZ

D.e Gleichung — ^ g.ebt für ^9.

r sin IZ

2. -

SIN I. SIN K

. . . . / , sin sin O . ^ I sin <1:

Die daraus abgeleitete -—- — -— mebt -— — — ;

SIN a sin e sin I. sin e

aber diese Gleichung ist auch eben sowohl eine abgeleitete von 2.

st Also war es überflüssig, die Formeln für rechtwinklige Dreieckeerst besonders aus der Figur zu suchen. Anm. d. Ucbers.