Grundgleichungcn zur allgcm. Auflösung von Kugcldreicckcn. zu?

Uni endlich das Vcrhältniß zwischen A, U, (l und a zu fin-den , bemerke man, daß in der vorigen Gleichung cot a sin k>

SM t) Silk It oc/c 'c.

r cos a . — r cos k» . -—- ist. Also ist, wenn

sm a sm ^

man die Gleichung mit sin A multiplicirt,

c cos A sin (! — r cos a sin L — sin A cos (l cos b.Verwechselt man in dieser Gleichung die Buchstaben A und L,so wie n und li, so erhalt man,

i- cos L sin (! — r cos d sin A — sin L cos (! cos a,und aus diesen beiden Gleichungen folgt, wenn man cos l> wegschafft,r'- cos A sin (i -h- r cos L sin L cos (l — cos a sin L sin ;also endlich

cos ^ r cos L cos dcos k> — . „ . ^

s»> n sm v

Dieses ist das gesuchte Verhaltniß zwischen A, U, E und a,oder die vierte von den zur Auflösung von Kugeldreiecken nöthigenGleichungen.

81. Die Gleichung zwischen A, L, (! und a hat eine auf-fallende Aehnlichkcit mit derjenigen zwischen a, d, c und A. DerGrund davon ist die Eigenschaft der Polar- oder Supplemcntar-Dreiecke. Denn, wie bekannt, geHort zu einem Dreiecke, dessenWinkel A, L, L, und dessen, diesen Winkeln gegenüberliegenden,Seiten a, 1>, c sind, allemal ein Polardreieck, dessen Seiten 29 —A,29 —L, 29 — C, und dessen, diesen Seiten gegenüberliegenden,Winkel, 29 —a, 29 —d, 29 —c sind. Wendet man nun dieGleichung des 76stcn Art. auf dieses Polardrcicck an, so erhalt man

cos ^ — r cos — L) cos — d)cos (29 —k>) sm (2?—L) sm(Zs-e) '

welches

cos ^ r cos II cos dcos k» — . 5, . ^

SIN I; LIN

gicbt; wie wir es oben auf einem andern Wege fanden.

Diese Formel enthalt unmittelbar die Auflösung in dem Falle,wenn eine Seite aus den drei Winkeln gesucht wird. Um abereine für Logarithmen bequemere Formel zu haben, substituire man

^ IN-. . VOSS, L SM r 5,2

den Werth von cos -k IN die Gleichung 1 s

welches giebt:

s!o ^ silkL sin d—cos n cos d—rcos^i —rcossL-j-d)— rcos^l

sm U sind 2 sm Ii sin d