Die sechs Grundgleichungcn, von welchen vier, jede zweiGleichungen enthalten, sind also folgende:

1. e sin d — sin a sin L; r sin c — sin a sin C.

2. i tanxd —tanz a cos C; i ianZc—tanga cosö.

3. r cos a — cos 6 cos c.

4. r cos I — sin C cos Ii; r cos C — sin L cos c.

6. r tanZ d — sin ctanZL; r tanA c — sin d tanA C.

6. r cos a — cot Ii cot C.

Diese zehn Gleichungen enthalten alle mögliche Verhältnissezwischen drei von den fünf Elementen L, C, ->, d, c. Mankann also immer, wenn man zwei von diesen Bcstimmungsstückcn,nebst dem rechten Winkel, kennt, unmittelbar das dritte durchseinen Sinus, Cosinus, Tangente, oder Cotangentc finden.

66. Wenn eine Seite, oder ein Winkel des Dreiecks, durchihre Sinus allein gegeben sind, so haben sie zwei Werthe; folg-lich thun zwei Dreiecke der Aufgabe Genüge. Denn, jeder Si-nus eines Winkels oder Bogens gehört auch zu seinem Sup-plemente. Nicht so verhalt es sich, wenn das unbekannte Ele-ment durch den Cosinus, durch die Tangente, oder Cotangentcgegeben ist. Dann laßt sich an dem Zeichen des Ausdruckssehen, ob das Element größer oder kleiner ist, als ein rechterWinkel. Es ist kleiner als 9, wenn der Cosinus, die Tan-gente, oder die Cotangentc das Zeichen -j- haben: großer, wenndiese Linien das Zeichen — haben.

Es lassen sich über diesen Gegenstand allgemeine Regelngeben, welche aus den sechs Gleichungen folgen. So zum Bei-spiel folgt aus der Gleichung r cos a — cos K cos c, daß entwe-der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugcldreiecks kleinerals 9 sind, oder daß von den drei Seiten zwei größer als 9sind, die dritte aber kleiner ist. Keine andere Verbindung bringtdie Gleichheit der Zeichen von cos Ii, cos c und cos a hervor,welche die Gleichung verlangt.

Eben so folgt aus der Gleichung r tanz c ^ sin 6 tanzC,wo sin K immer positiv ist, daß tanZ C und tanZ c immer einerleiZeichen haben. Also sind in jedem rechtwinkligen Ku-geldreiecke ein schiefer Winkel, und die ihm gegen-überliegende Seite, immer von der nämlichen Art;das heißt: beide zugleich sind größer oder kleiner,als rechte Winkel.

Trigonometrie