Grundglcichungcn zur Auflösung geradliniger Dreiecke. 373

cos v . r ^ -i- ^ - 2t4LxL(l

-4- UV- —

und cos L^r X ^ ^

Man ziehe wiederum ^v, aus t4, auf VL senkrecht.

Fig. 4. Erstlich. Fallt das Perpendikel innerhalb desDreiecks, so ist ^ -> — 2ö(l X W (3s B.

12r S,); also vv — ^—

gen Dreiecke ^k) ist aber r - sin L^D — : LO; der Win-kel Lt4k> ist das Complcment von L; also ist sin Ltäv — cos Ii;LI)

folglich cos k — rX 7^, und, wenn man den Werth von

In dem rechtwinkli-

^VIZ2 _p. LO-

LO substituirt,

cos L — rX ^viz x i-.LFig. Z. Zweitens. Fallt das Perpendikel außerhalb desDreiecks, so ist 2k(i X M (ZZ iZr S.).

Also ist Lv — -— . Nun ist, wiederum in dem

IZV

rechtwinkligen Dreiecke L-4O, slo oder cos —i- x

und, da der Winkel das Supplement von F4Z(i oder List: cosv — cos t4LI) ^ — rX ^ (11-). Also erhaltman auch hier, wenn man den Werth von Lv substituirt,

cos L^rX—-

46. r4, L, (l sollen die drei Winkel eines beliebigen Dreieckssein; u, b, o die ihnen gegenüberliegenden Seiten- so ist, nach dem

^2 ^.2 ^2 ^

vorigen Satze, cos L — v. — . Der nämliche Satz,

auf jeden der beiden andern Winkel angewendet, giebt

I>2 -P c- — ^2 2' -si- b'2 — «2

cos 4, — c. , cos b. — r . - .

Lt>« ' 2st>

Diese drei Formeln sind zur Auflösung aller Aufgaben derebenen Trigonometrie hinreichend. Denn, wenn von den sechs Grö-ßen 4, L, kl, a, Ii, c drei gegeben sind, so findet man unter denobigen Formeln allemal die nöthigcn Gleichungen zur Entwickelungder übrigen drei Größen. Die schon früher gefundenen Sätze, undalle Sätze, welche noch gefunden werden können, müssen also Folgen;ener drei Haupt - Gleichungen sein.