L(i8 Trigonometrie.
nahe, sin a^-0,00016707963267948966. Diese Zahl ist nochin der dreizehnten Decimalstelle, also noch in der zehnten Ziffer, un-richtig. Die genauere Zahl findet man am leichtesten durch die For-meln des Lösten Art., welche, wenn man ^ — ro??? stlff, un-mittelbar aus zwei oder drei Gliedern der Reihen,sin a ----- 0,00016 70796 32035 626663 undcos a — 0,99999 99876 62994 62400 6263geben. Diese Werths sind bis zur zwanzigsten Stelle für den Si-nus, und bis zur vier und zwanzigsten für den Cosinus genau.
38. Nachdem nunmehr Sinus und Cosinus des durch a be-zeichneten Bogens von einer Minute gefunden sind, darf man nur,um daraus weiter die Sinus der vielfachen Bogen a zu finden, inden Formeln des 22. Art. x — xff- a, ^— x — a setzen. Dieerste und dritte geben, für i------ 1,
sin fx ff- a) — 2 cos a sin x — sin sx — a),cos sxff- a) --^ 2 cos a cos x— cos (x — a).
Aus diesen Ausdrücken folgt, daß, wenn die Bogen eine arithme-tische Reihe bilden, deren Differenz a ist, ihre Sinus eine rücklau-fende Reihe ausmachen, deren Scale 2cos a —- 1 ist; das heißt:wenn zwei Sinus ^4 und L berechnet sind, daß man dann den fol-genden 0 findet, wenn man L mit 2 cos a und sl mit — 1 mul-tiplicirt, und die Producte zusammenzieht; welches 0^--2Lcosa—4giebt. Die Cosinus bilden eine rücklaufendc Reihe mit der Scale2cosa — 1. Also ist, der Reihe nach,
SIN o ------ o
sin a ----- sin a
sin 2s — 2 cos a sin a
sin 3a ----- 2 cos a sin La — sin a
sin 4a — 2 cos a sin 3a — sin 2asin Sa ---- 2 cos a sin 4a — sin 3a
U. s. w.
cos o 1
cos a ----- cos s
cos 2a ----- 2cos a cos a — 1
cos 3a ----- 2cosa cos2a — cos a
cos 4a-----2 cos a cos 3a — cos2a
cos Sa ----- 2 cos a cos 4a — cos3a
39. Nunmehr ist nur noch die Ausführung der angezeigtenOperationen, durch Substitution der Wcrthe von sin a und cos a,nöthig. Will man Sinustascln mit 10 Decimalstcllen haben, soist es hinreichend, die Werthe von sin a und cos a bis auf 16Dccimalstellen zu berechnen, nämlich:
sin a ----- 0,00016 70796 320336cos a 0,99999 99876 629946.
Aber, da cos a von 1 wenig abweicht, so kann man, kürzer, wiefolgt verfahren. Es sei 1c-----2 (1— cos a)-----0,0000000246740110,so ist 2 cos a ----- 2 — 1c,