Lehrsätze und Formeln über Sinus, Cosinus, Tangenten ?c 3li5

Daraus folgt:

1.2 ^ 1.2.3.4 '

-i , —x./—i-Ho v

-H

und — 1.2.3 ' 1.2.3.4.S

Die Reihen in den zweiten Gliedern dieser Gleichungen sind dieeben gefundenen Werthe von oosx und sinx; also ist

x^ 1 x^ 1

oosx-

woraus folgt:

x>/—1 ^x/'^I>/ — e "

2/—1

/— 1 wnZX;

welche Formel oben in der vierten Anmerkung gebraucht worden ist.Obige Ausdrücke geben auch — oosx-j-^/'—Isinx und

^—x^—1 — Los X — ^ — 1 sin x. Also ist, wenn man Einsdurch das Andere dividirt,

Zx/'—1 ^ oosx-H /"—I sinx 1-l- 1 tsnxx

oosx—^—Isinx 1 — ^—Iwnxx'

folglich, wenn man auf beiden Seiten die Logarithmen nimmt,i-^/" iu»>»x^ Bekanntlich aber ist

Setzt man also Z' — lianZx

, /I-H / — 1tnn!> x>

2 x/- 1 ^ l , )

V VI—/-Itsn^x/

°(w

2 7?

5 ^ '

statt 2, und dividirt rechts und links durch 2^—1, so erhalt man

x — laug x — ^ lang x^ -H ^ lang zck — ^ InnZ x . . . .

Mittels dieser einfachen Formel laßt sich der Bogen aus seinerTangente berechnen, in so fern dieselbe kleiner als 1 ist.

36. Um die obigen Formeln zur Berechnung der Sinus undCosinus eines gegebenen Bogens in Graden und Gradtheilcn anzu-wenden, muß die Lange des Bogens in Theilen des Halbmessers,oder, was dasselbe ist, das Verhältnis des Bogens zum Halb-messer, bekannt sein. Der halbe Umfang, oder der zu zwei rechtenWinkeln gehörige Bogen, ist, für den Halbmesser 1, gleich 3,1415926536 897932. Diese Zahl heiße er, so ist die Länge des Bozens

— o gleich — . —. Setzt man in den obigen Formeln x — —. —,» n 2 l> 2