Trigonometrie.

durch Addition verrichtet werden kann; wie bei den Logarithmen.Man findet nach und nach:

scos ^ -p- ^— 1 sinil) scos ^ -s- — 1 sin — cos 2 ^ ch- ^—1 sin2^scos^-^-^—1 s!ii^) (cos2^-s- ^—1 siiiL^.) — cos 3 ik-s- —1s!n3i1(cos Ii ch- ^— I sin^r) (cos3ii-j- — 1 sin 3^-) — cos4 -i -h- —I sin 4 Iiete.

Das erste Product ist gleich (cosri-s-^—1 siu^)-, das zweite(cos^.-s-/'—Isinii/ u. f. w.z also ist allgemein, wenn u irgendeine ganze Zahl bedeutet,

(cos li -s-^ — 1 sin L,)"------cos n -s- ^— 1 sin n

Daraus folgt, wenn man das Zeichen von verändert,

(cos.4,— — 1 sin cos n iL— ^ — 1 sin n iL.

Aus diesen beiden Gleichungen, welche eine aus der andern fol-gen, findet man folgende Ausdrücke für sin n iL und cos n iL,nämlich:

cos n ------ ^ (cos iL -s- ^— 1 sin iL)" -j- ^ (cos iL — ^— 1 sin iL)"

i n iL -

2/-1

(cos ^Lch-/'—1 sin iL)"-

2/—1

(cos iL— 1 sin iL)".

33. Will man diese Größen durch Reihen ausdrücken, so muß(cos iL-s-^ —1 sin iL)" nach der Binomialformel entwickelt werden.Dieses giebt

cos iL" -j- - cos

SIN

iL /— 1 —

i. (,i - 1)

cos iL" sin iL'

1 1.2

- "("-0ln-2) ^1 U. n('.-1) (n-2)(n-3)

1.2.3 ^ 1.2.3.»

cos iL""' sin ^ . . . .

Da diese Größe der Werth von cosniL-s-^—1sinn<L ist, so kannder mögliche Theil derselben mit cos n iL, der unmögliche mit^— 1 sin u iL verglichen werden. Also ist

. ... n(n—1> . „ . . . 2 . n(n—1)(n—2)(n—3)

cos n iL----cos iL— —b ) cos n. sin iL -l--— -bb ^

1.2 1.2.3.4

cos sin ^....

sinn^.----n cos L"' ^ sin.4. — ^ —— cos sin iL^ . . . .

1.2.3

Das Gesetz dieser Reihen ist sehr deutlich. Man findet durchdieselben den Sinus und den Cosinus eines vielfachen Bogens vielschneller, als durch die Operationen Art. 24.