Lehrsätze und Formeln über Sinus, Cosinus, Tangenten ?c. 37 ,7

ist. Denn, die Formel sin (a -si b) -si s!n (a — ll) — 2 sin s cos llgiebt sin (^ s -si x) -si sin (^ 9 — x) ^ 2 si n ^ cos X und

sin(^9-six)-sisin(^9— x) —Lsin cosx;also, weil sin ^ ^—»? —2 und cos X—sin (y—x) ist, wenn mandie eine Gleichung von der andern abzieht,

sin (Z9—x)-sisin (H^>—x)—sin (> y-six)—-sin (^y—x)—sin (y—x);aus welcher Gleichung sich die Gleichung für die ungeraden Theilefinden laßt, wenn man x—sitzt. Auch dient die allgemeineFormel zur Prüfung der Sinustasiln.

24. Wenn man in der ersten und dritten Formel desIgten Art. d —2-r setzt, so erhalt man

SIN 2» cos s -t- cos 2s sin In . cos 2s cos n — sin 2s sin n

sin Zu— ! , cos Zu— .

r r

Setzt man in diese Ausdrücke statt sin 2u und cos2u ihre

Werthe aus dem 20sten Art. und reducirt die Resultate mittels

der Gleichung sin,-c-si cusysi so erhalt man

4s!»s^

sin Z u — 3 sin u -4coss^

cos 3 n ^

3 cos u.

Diese Formeln für die Verdreifachung der Bogen dienen auchzur Theilung derselben in drei gleiche Theile. Denn, wenn mansinZu —c und sinn—X setzt: so erhalt man zur Bestim-mung von X die Gleichung csi —3r^x— 4x^; woraus folgt,daß die Theilung eines Winkels in drei gleiche Theile, analytischbetrachtet, von der Gleichung des dritten Grades abhangt.

Macht man in den obigen Formeln (19.) nach und nachk ^ 3 u, l, — 4 u u. s. w., so erhalt man die Sinus und Co-sinus der Bogen 4u, Zu u. s. w., das heißt, allgemein, dieSinus und Cosinus der Vielfachen von u. Umgekehrt gebendie Formeln, welche zur Vervielfachung der Winkel dienen,Gleichungen, durch deren Auflosung die Theilung des Bozens ineben so viele gleiche Theile bewerkstelliget, das heißt, sinu oder- os u aus sin NU und cos NU gefunden werden kann.

2Z. Wir wollen noch die Werthe von sin Zu und cos Zuentwickeln und uns dazu der Formeln

. „ si» 3» cos 2»-!- cos 3s sin 2s

sin (Z u -si 2 u) — —

cos (Zu -si 2») —

cos 3s cos 2s — si»Z» s!»2s