Trigonometrie.

Zweitens. Für die Sinus der ungeraden Zahlen von Jehn-theilen des Quadranten findet folgende Gleichung Statt:

ans ch- »in -ffs9 -f- sin^ — sin ^ 9 ss- sin ^ 9;für die Sinus der geraden Zahlen von Zehntheilcn die Gleichung:

Doch diefc Formeln enthalten nur einzelne Fälle von allgemeinemVerhältnissen. Es kann bewiesen werden, daß für jeden beliebigenBogen x,

sin (9—x)-f-sin (ZH-s-x) chsin (^9—x)—sin (Z-9—x)-j-sin (^-f-x)

zahl n, sei 2, so, daß 2 — sin ^ - so ist 2 — Zx /^1 x^), weil

sinoder sin Z — L sin — cos — ist (2V). Soll »u» die

u v^n/ 2n 2n

Sumnic der Quadrate des Halbmessers und der Seite des ersten Vielecksdem Quadrate der Seite des zweiten Bielecks gleich sei», so muß sein:422^4x"-s-1; also iSx^fi-x°) —4x2ss-l, oder lüx^— ILx^ch-l —o>oder (4x2 —1)2 — 4x2 — <>, oder (4x2 — 1—Zx)(4x2— i^f-Zx) —0; wor-aus folgt: 4x2—1 — Zx —o und 4x2 — 1^-ZX —v, oder4x2 ^ 1 Q Zx.

Nun ist für das Zehneck wirklich 4x'2 — 1— Zx, weil 1:Zx —Zx —1—Zxist (4s B. 5r S.); also findet die vorausgesetzte Eigenschaft zwischen demZehneck und Fünfeck Statt; wie behauptet wird. Die andere Bedingungs-

1 >/ 6

glcichung 4x2—Zx—1 —g giebt x—isQ/(i»ch-»), oder x— —-— .

-1^/6

Für das Zehneck war, nach der ersten, 4x2-s-Zx—1, und x-Beide BedingungSgleichunge» geben eigentlich nur zwei von einander ver-

schiedene Werthc von x, nämlich Q

und

— ; denn, ob

der Werth von x im ganzen positiv oder negativ genommen wird, ändert

1 g

in seiner Größe nichts. Der erste Werth von x, nämlich Q —^— ,

entspricht, wie vorhin bewiesen, dem Zchnccke; also die Sehne Zx einemWinkel von 7(5 des Umfangs am Mittelpunkte; der zweite Werth von x,

nämlich Q , ^ic aus Lcgcndrcs obiger Tafel zu sehen, einem

Z.6

Winkel von 7^9; also die Sehne Zx einem Winkel von 2. ^9 —

oder dn's Umsangcs; mithin haben eigentlich nichtallein die Sehnen von ^ und A. dxg IImfang es, w clche dasregelmäßige Zehneck und Fünfeck bilden, die Eigenschaft,daß die Summe der Quadrate des Halbmessers und derersten, dem Quadrate der zweite» gleich ist, sondern auchdie Sehnen von A, und -A? des Umfangcs. Anm. d. Uebers.