Lehrsätze und Formeln über Sinus, Cosinus, Tangenten?c. 355

Setzt man darauf in den nämlichen Formeln 0-/^9 und sins^so erhält mansin — I /(6 -I- /5)— j /(3 — Z'5),

cos — 4 -st ^6) -st 46).

Aus diesen Ausdrücken, und den schon bekannten von sin ^und «m (!, erhält man folgende Tafel:

LZN 0 ec>8 0

«in — cos ^ /(Z -j- 7^6) — 1 ^(6 — ^-Z);

sin -A.^, — cos ^ ^ ^ j (— 1 -si. /Z) ;

sin — cos ^ ^ /(6 -st /6) ? /(3 — /6);

sin ^ cos -^9 ---- ?/(10 ^ 2 /Z);

sin ^ — cos ^ ^ ^ /2;

«in ^7? ^ cos ^ ^ ck (1 -s- /Z) ;

sin y — cos ^ /(Z -s- /Z) -s- /(3 — /6);

sin^y — eos^.^, — 6);

sin ssiy — cos^y — U>/(3 -st /6) -s- s /(5 — /Z);«in cos 0 1.

Diese Ausdrücke können auch noch vereinfacht werden, weil

und /(3 —/S^z/10 —^2ist, woraus folgt, daß, wenn man ^2, v^Z und ^ 10 als be-kannt annimmt, nur 4 Wurzelausziehungen nöthig sind, um dieSinus und Cosinus aller Zehntheile des Quadranten zu finden.

23. Aus diese» Formeln folgen auch nachstehende zwei merk-würdige Satze.

Erstlich: Da 2«in S^> die Sehne von oder die Seitedes eingeschriebenen regelmäßigen Fünfecks ist: so ist diese Seite

— 5 /'(iv — 2 / 6), und ihr Quadrat — ^ ^ ^ . Die

Seite des regelmäßigen Zehnccks ist 2mn-^^>——l-st/'6) undihr Quadrat — j (6 — 2/^6). Es ist aber j (10 — 2 /^Z) —1-st ^ (6—2/6). Also ist die Summe der Quadratedes Halbmessers und der Seite des Zehnecks gleichdem Quadrate der Seite des eingeschriebenen regel-mäßigen Fünfecks*).

*) Dieser Satz läßt sich auch, ohne vorherige Auflösung in Zahlen,wie folgt, beweisen; und zugleich noch etwas vervollständigen. Die halbeSeite eines beliebigen, eingeschriebenen regelmäßigen Vielecks, mit einer gera-

4^>

den Seitenzahl La, sei nämlich x, so, daß also x — sin — ist: die halbe

Ln

Seite des eingeschriebenen regelmäßigen Vielecks, von der halben Seitcn-

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