354 Trigonometrie.
Da nun cos ^st -st sin 2' U" — r^ und cos ^st — sin Ast
— r cos n, so ist cos st------- ^ st -st 7^r cos n und sin -s a'- — st st
— st r cos k>; also
sin stu — /(st st — str cos a)cos stu----/ (st u' -st st c cos «).
Setzt man also u —9, oder cosa—o, so ist sinstj? —cosst9—/(st st)-----r/st. Setzt man ferner n------st9, welches cosa
— c/st giebt: so ist st 9---- r/(st „ r ^c) und cos st 9----
'/(iss-'st/Ä-
21. Man kann auch sin st a und cossta durch sin a ausdrü-cken, welches zuweilen nöthig ist; nämlich, wie folgt:
sin st .1 ----- st /(st -st c sin s) — st/(st— c sina),cos sta — st //-ß. c sin a) -st st / (st— r sina).
Denn, quadrirt man die erste dieser Gleichungen, so ist sin st st
— ä (c' -st c sin a) -st st (st — c sin a) — st / (c^ — st sin st) —st 1-
— .sc cosa. Quadrirt man die zweite Gleichung, so erhält mancos stst------stst-j-stc cos a, jMches mit den obigen Ausdrücken
von sin st a und cos st a übereinstimmt. Die Wurzelgröße /(c^
— r sin a), in den Ausdrücken von sin st a und cossta, muß mitentgegengesetztem Aeichen genommen werden, wenn cos a negativ ist;wodurch die eine Formel in die andere übergeht.
22. Aus diesen Formeln lassen sich leicht die Sinus und Co-sinus aller Aehntheile des Quadranten finden.
Es sei zuerst sin st 9 —x, so ist 2x die Sehne von A9,oder die Sehne des regelmäßigen eingeschriebenen Aehnecks. DieseSeite ist gleich dem größern Thcile des im mittlem und äußernVerhältnisse getheiltcn Halbmessers (4s V- 6r S.) Setzt man alsoden Halbmesser — 1, so ist 1 : 2x ------ 2x — 1 — 2x. Daraus
folgt 4x°— 1 — 2x, oder st-st stx -----st; also (x -st st/ — st -st
c? ^ 1?- °der x -s- st ----- st / 6, und x, oder sin st 9 ---- st (— 1
-st / Z).
g 2 /5
Dieses quadrirt, gicbt sin st/ — —; also ist 1 —
sin st/, oder cos st 9°-----—. Aber cos st — sin st-------
cos 2 a ; also ist cos st 9 , oder sin st 9 — ^ ----- ^ '
Setzt man nun in den Formeln vlo. 21, c—1, a —st9und sina----st(—1-s-/Z) so erhält man
sin 9 — st /(Z -s- / 6) — st /(Z — /Z),
cos/^9 ^ st /(Z -j- /Z) -s- st /(Z - /6).