Lehrsätze und Formeln über Sinus, Cosinus, Tangenten ?c. 353

woraus folgt:

r sin sn — Ii) sin u cos b — sin b cos n,i- cos (n — b) — cos n cos b -j- sin s sin Ii *).

welche Ausdrücke ebenfalls für jeden beliebigen Werth von u und I>Statt finden.

20. Wenn man in den obigen Formeln k>—n setzt, sogeben die erste und dritte:

. 2 sin n cos n . cos — s!n n ^

SIN 2 it — — , cos 2 n — .

r r

Diese Formeln drücken den Sinus und den Cosinus des zweifa-chen Vogens durch den Sinus und den Cosinus des einfachenBogens aus. Sie enthalten die Auflösung der Aufgabe vonVerdoppelung eines Winkels.

Um einen Winkel a zu Halbiren, setze man in die obigenFormeln statt a, so kommt

2 sin ^ u cos ^ a cos—sin^n^

sin a — ' r- cos a — - . .

c r

Die übrigrn drei Ausdrücke, so wie alle anderen geometrischen Formeln,lassen sich vermittels desselben unmittelbar, ohne alle weitere Hülfe der Fi-gur finden. Man muß auch, wenn man conscgucnt verfahren will, dieFigur nicht weiter zu Hülfe nehmen. Entweder müssen alle Sätze auseiner Figur genommen werden, oder nur einer. Einzelne Sätze, nachWillkür, auS der Figur zu nehmen, andere nicht, ist nicht einer gutenMethode gemäß. Wie mit Hülfe des Ausdrucks (17.) alle übrigen gefundenwerden können, sehe man des Weiteren in dem erwähnten Lchrbuche derGeometrie des Ucbcrsctzcrs, wo man auch den gegenwärtigen BeweisS. 280 ic. anschaulich vorgetragen findet. Anm. d. U ebers.

") Nämlich wenn man die erste Formel mit cos Iz, die zweite mitsind multiplicirt, so erhält man

r sin n cos Ii — sin (n—I>) cos li^ -f»cos (n— Ii) sin Ii cos b,r cos -i sin I> — cos (n—Ii) cos l> sin I»—sin (s— t>) sin I>-;zieht man diese beiden Ausdrücke von einander ab, so erhält man

r (sinn cosli— cvsn sin Ii) — sin (n—Ii) (cos b^-f- sin li'H,und weil cos li^ -p- sin li^ — r^ ist,

r (sinn cos Ii — cos n sink) — r^ sin (n — Ii), oder

r sin (n — Ii) — sin n cos Ii — cos n sin Ii;welches das erste, obige Resultat ist. Auf eine ähnliche Weise findet mandas andere. Anm. d. U ebers.

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