Trigon omctrie.

Da der Bogen a gleich der Summe der Bogen a— d und dist, so ist nach den obigen Formeln

r LI» ll ^ sin (a — Ii) Los I) -st 008 sn — Ii) si» I),

i' cos u — cos sa — Ii) cos Ii — sin (u — Ii) Li» Ii;

Es ist ferner klar, daß, wo auch wiederum A und v liegen mögen,

/dk« ^ c« ^ »ie — i -i- cos

— E« — CK — 1 ch- cos b.)AK — Eke — NA — 1 -st sin

sin b

IUI ^ L? -st Lbl — 1

ist. In der Figur ist nämlich z. B. der Cosinus CK des Winkels d ne-gativ ; also ist — Lk4 — -st cos b; desgleichen ist der Sinus KIA des Win-keis Ii negativ, und folglich ist — NA —-st sin a.

Setzt man nun die Ausdrücke (6.) in (4.), so erhalt man

6. Aö^ — (cos a — cos Ii)" -st (sin u — sin d)2, oder

7. ^IZ"—eosa"—Lcosa cosli-stcvsli'-st sinn"—Zsinn sin d-st sin d^,oder auch, weil

L. cos n? -st sin — 1 und cos d^ -st sinb^ — I.

9. AIZ2 — Z— 2cosu cos d—2sinasind.

Es ist aber die Sehne AH der doppelte Sinus des halben Winkels AEV,also des halben Unterschiedes der Winkel n und l>. das heißt: es ist AI!^ 2sin 1 so — b). Also ist in (9.)

19. 4sin j (a — d)^ — 2— 2 cos a cos Ii — 2sin n sin d,woraus folgt

11. 1 — 2 sin ^ (a—b)2 ^ cosa cosd -st sin n sin b.

Es ist aber auch, wie für jede» beliebigen Winkel, so auch für den Win-kel ^ —k>), die Summe des Quadrats des Cosinus und des Quadratsdes Sinus gleich dem Quadrate des Halbmessers. Also ist

12. cos (u—b) 2-st sin ^ so—6)2 — 1.

Zieht man rechts und links 2s!n j (n—!?)- ab; so erhalt man aus (12.)

13. cos ^ (a—d)^ — sin ^ (g,— b)^ — 1 — 2sin ^ (n— d)^,und dieses in (13.) gesetzt giebt

14. cosn cos Ii -stsin n sind — cos ^ (n—d)2 — sin j (a — d)2.Dieser Ilusdruck gilt nun für alle beliebigen Winkel s. und b; also anchfür b-^o. Setzt mau in (14.) d —o, so erhält man, weil coso—1

sin o — o ist,

und

15. cos s, — cos ) z2 — ^ .

und da dieser Ausdruck wieder für jeden beliebigen Werth von n gilt, sokann man darin auch in n — d statt a schreiben, welches

16. cos (n — d) — cos ^ (n—d)^ — sin ^ (n — b)^

giebt. Setzt man endlich diesen Ausdruck (16.) in (14.) so erhalt man

17. cos (u — b) — cos n cos d -st sin a sin d,

und dieses ist der vierte Ausdruck bei Lcgcndre, §. 19, der also auf dieseWeise allgemein, für jede beliebige Größe der Winkel u und d, bewiesen ist.