Lehrsätze und Fm'incln über Sinus, Cosinus, Tangenten ?c. 3.V1

dcrum die Grenze von u. s. w. Mithin finden die Formeln ohneAusnahme Statt, wie groß auch u und ii sein mögen ").

ch Der wichtige Beweis, daß die Formeln (IS.), welche zu de» Fun-damental - Ausdrücke» der gesammteu Goniometrie gehören, (von der dieTrigonometrie eine einzelne Anwendung ist) allgemein gelten, darf gewiß nichtübergangen werden, selbst nicht, wenn man bloß die Trigonometrie, näm-lich die Anwendung der Goniometrie auf die Aufgaben von Dreiecken, ab-bandeln will. Denn schon hier kommen Winkel vor, die größer sind, alsrechte, und im Anfange von (19.) werden die Formeln aus der Figur(Fig. 2.) nur für Winkel im ersten Quadranten bewiesen, also nur fürWinkel, welche kleiner sind, als rechte. Nimmt man diese Formeln (IS.)ohne Weiteres, allgemein, für beliebig große Winkel an, wie es wohl zu-weilen geschieht, selbst sogar, wenn die Ausdrücke auf Fälle angewendetwerden sollen, wo die Winkel jede beliebige Größe haben können: so läßtman geradezu Säße ohne Beweis zu, was in der Mathematik niemals ge-schehen darf. Diese Erwägung konnte einem Gcomcter wie Legendre nichtentgehen, und deshalb gab er de» ganz nothwendigcn Beweis, daß dieFormeln (IS.) allgemein gelten, welcher Beweis einen der Borzüge seinesLehrbuchs ausmacht.

Der Legendrische Beweis ist in der That ganz einfach. Sollte manihn indessen hie und da, beim ersten Unterricht, einer gewissen Ungewöhnlich-kcit wegen, die ihm eigen ist, etwas schwierig finden; so kann man auchdie Formel» (19.) ohne Weitläuftigkcit unmittelbar aus der Figurallgemein beweisen. Namentlich kann der vierte Ausdruck (19.) für jedebeliebige Größe der Winkel a und d, wie folgt, gefunden und bewiesenwerden.

Es sei ll (Fig. 12. der Anm. des Hebers.) der Mittelpunkt dcS KreisesVX, dessen Halbmesser — 1 fei» mag, XL auf VXl senkrecht, 11t), III, SILmit LI', und XX, Uli mit 1X1 parallel. Der durch den Bogen SOLL ge-messene Winkel IXXI sei — b, der durch den Bogen DXtZb'X gemesseneWinkel DLX — a; also der Winkel XXX — n — t>. Die Sehne dieses Win-kels LXX —a—h ist XL, und es ist, nach dem Pvthagorischen Lehrsätze,weil ALL ein rechter Winkel ist,

1. XL-^ XX-LX-.

Nun ist klar, daß : wo auch die Puncte X und L im Kreis - Umfange liegenmögen, das heißt: wie groß oder klein auch die Winkel a und h sein mögen,XX und IX, nichts anders sind, als die Unterschiede der Abständeder Puncte X und IZ von den Linien XI) und XL. Es ist alsoimmer

2. XX — XL — XI — Sick — und

3. — LX — XI — LI — XL — LI,

wo wir den Abstand LX negativ genommen haben, damit die Abstände derPuncte X und L von Xt) und XL in der Ordnung X, L benannt werdenmögen. Läge X auch an Xt) (wie an XL) näher, als L, so würde manauch XX negativ nehmen müssen. Es ist aber ganz erlaubt die Unterschiededer Abstände negativ zu nehmen, weil ihre Quadrate in (1.) dennochden nämlichen Werth behalten, XX und LX mögen positiv oder negativgenommen werden. Setzt man nun die Ausdrücke (2 und 3) in (1.) soerhält man

4. XL- — (Sic- — 5l(Z)- -i- (XL — LI)-.