Trigonometrie.
a -st Ii kleiner sind als 9. Es ist aber leicht, denselben ans Fälleauszudehnen, wo zwar 0 und I, kleiner sind, als 9, ihre Summe0 -st Ii aber größer ist, als 9. Der Punct I?' fallt dann aus dieVerlängerung von und die einzige Veränderung des Beweiseswürde sein, daß man cos so-st Ii) ----- — Iii' setzt. Da aberdann auch zugleich E? — II. — LL. ist, so folgt immer wiedercos so -st Ii) IIIx — II. oder r cos so -st Ii) ^ cos a cos Ii —sin 0 sin d. Nun setze man, die Formeln
r sin so -st Ii) sin 0 cos Ii -st cos 0 sin Ii undr cos so -s- Ii) cos a cos Ii — sin s sin Ii,wären für Werthe von a und d, die kleiner sind, als die Grenzenund L, erwiesen: so behaupte ich, daß sie auch noch Statt findenwerden, wenn man die Grenzen ^ und L bis zu 9 -st ilc und IIerweitert.
Denn für jedes x ist allgemein
sin (9 -st x) -st cos x,cos (9 -st x) — — sin x.
Diese Gleichungen sind klar, wenn x<<9. Daß sie für jedenbeliebigen Werth von x gelten: davon überzeugt man sich durch die18te Figur wo M.1" und iVUüU" zwei auf einander senkrechte Durch-messer sind, und wo man, nach und nach, für x die Bogen il.II,^UiVIsi /A)lZIij>I/", und eben diese Bogen, mit so vielen
ganzen Umfangen vermehrt, als man will, annehmen kann.
Nun sei x ----- m -st Ii, so ist
sin (9 -st IN -st Ii) ---- -st cos sin -st b),cos (9 -st in -st Ii) ^--- — sin sin -st Ii).
Nach der Voraussetzung kennt man die Werthe der zweitenGlieder, so lange m und I, nicht die Grenzen ^ und II überschrei-ten. Also ist, dieser Voraussetzung gemäß,
I sin ^9 -st in -st Ii) ^ -st cos in cos Ii — sin in sin b,i' cos ^9 -st in -st Ii) — — sin in cos Ii — cos m sin Ii.
Es sei 9 -st IN — a. Da sin (9 -st ni) — cos IN und cos (9-stni) —— sin in, so ist cos in — sin 0 und sin m ----- — cos 0. Stlb-stituirt man dieses in die vorigen Gleichungen, so erhalt manI' sin (s -st Ii) — sin -I cos Ii -st cos 0 sin Ii,i- cos so -st Ii) — cos 0 cos Ii — sin 0 sin Ii.
Daraus folgt, daß die Ausdrücke, die vorhin nur innerhalb derGrenzen o-<L., Ii <11 bewiesen waren, jetzt für die ausgedehnterenGrenzen 0 < 9 -st und Ii < U gelten. Auf dieselbe Weise kannnun wieder die Grenze von Ii um 9 erweitert werden, hierauf wie-