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Trigonometrie.

Weise vergrößerte Bogen mit -4bl einerlei Sinus hat. Bezeichnetalso c einen ganzen Umfang, oder 4p, so ist

sin x — «in (c -s- x) — sin f2c -s- x) — sin fZc -j- x) etc.

Eben das gilt für die Cosinus, die Tangenten u. s. w.

Nun sei ein Bogen x gegeben, welchen man will: so ist leichtzu sehen, daß sein Sinus, mit dem angemessenen Zeichen, immermittels des Sinus eines Bogens ausgedrückt werden kann, der klei-ner ist, als 9. Denn erst kann man von x so oft mal 4y abzie-hen, als solche darin vielleicht enthalten sind. Für den Rest > istsin x — sin Ist nun noch 29, so mache man z? — 29Z- 2. Dann ist sin z' — — sin 2. Es laßt sich also jeder belie-bige Bogen auf einen andern rcducircn, der kleiner als 29 ist. Und,da nun weiter sin f9-j-x) —sin (9 — x), so kommt zuletzt jederbeliebige Bogen auf einen andern hinaus, der zwischen 0 und 9liegt.

14. Die Cosinus lassen sich, vermittels der Formel 00s L,«in (9 — 4), oder, wenn man will, vermittels der Formelcos — sin (9 -s- immer auf Sinus reduciren. Da man nundie Sinus für alle mögliche Falle ausdrücken kann, so kann einGleiches mit den Cosinus geschehen. Uebrigcns zeigt unmittelbar dieFigur, daß die negativen Cosinus von den positiven durch den Durch-messer DL abgesondert sind, so, daß alle Vogen, deren Endpunctelinks von Dkl fallen, positiv, und alle Bogen, deren Endpuncterechts fallen, negative Cosinus haben.

Also sind die Cosinus von 0 bis 9 positiv, von 9 bis 09 ne-gativ, von 89 bis 49 wieder positiv, und wenn der ganze Umkreisdurchlaufen ist, so erhalten sie wieder dieselben Werthe, wie im er-sten Umkreise. Denn es ist auch cos (49 -j- x) — cos x.

Die Sinus und Cosinus der Vielfachen des Quadranten sindalso folgende:

sin 0-^0 sin 9 ^ - j- r cos 0 — - j- r cos 9-^0

sin 29 — 0 sin Z9 ^— r cos 29 ——r cos 09 — 0

sin 49—0 sin 69 ^ -s- u cos 49 — - s- r cos Z9 ^ 0

sin 69 — 0 sin 79 ——r cos 69 — —r cos 79 — 0

sin 89 — 0 sin 89 — -s- r cos 89 — - ss r cos 89 — 0

etc. etc. etc. etc.

Im Allgemeinen bezeichne ie irgend eine ganze Zahl, so ist

sin 2l<9 — 0 cos s2ie -s- 1)9 ^ 0

sin (4k.-j-I)9 -j- r cos 4K9 — -j- r

sin (4ic—1)9 — — r cos (4ic -f- 2)9 — — r.

Was über die Sinus und Cosinus gesagt ist, enthalt schon das Nö-thige von den Tangenten, Cotangenten w. größerer Bogen, als 29;