zu

den Elementen der Geometrie. Anm. 12.

daß Nile diese Vielecke convex sind; wenn nur jedes Vieleck alsdie Summe mehrerer convepen Vielecke betrachtet werden kann;welches letztere immer der Fall ist, wenn sich auch, nach Weg-lassung mehrerer zu dem gegebenen Polyeder gehörigen Kanten,mehrere ebene Seitenflächen in eine einzige, nicht ebene. Flache,vereinigen; denn, alsdann ist das Kugclvielcck, welches dieser Flacheentspricht, aus der Summe der convexen Kugelvielecke zusammen-gesetzt, welche zu den weggelassenen Seitenflächen gehören.

Wir kommen nun zu dem Falle, wenn die Weglassungvon Kanten, in welchen die Neigung unverändert bleibt, dieje-nige von mehreren K ö r p c r w i n k e l n nach sich zieht, weilentweder die Neigung aller Kanten dieses Körpcrwinkels unver-ändert bleibt, oder, weil sich die Neigung nur in drei Kantenverändern kann; in welchem Falle die Neigungen unveränderlichbleiben.

Wir wollen zuerst setzen, es werde nur ein Körpcrwinkcl weg?gelassen, und die Zahl der Seitenflächen dieses Winkels, oder derKanten, die in seinem Scheitel zusammenstoßen, sei m, Uebergehtman diesen Körperwinkel, so übergeht man dadurch m Kanten, undaus den m Seitenflächen, welche den Körpcrwinkcl bilden, wirdeine einzige. Bezeichnet man daher durch 8^, Ilss was aus8, II, nach Weglassung des Körpcrwinkels, wird: so ist 8^ — 8

— 1, A/ —A—m, 1^ — 1!— (m — 1). Daraus folgt 8^-j-LÜ

— L/—8-j-II — Also gilt auch für diesen neuen Körperder Euler sehe Lehrsatz.

Man hat also so viel Körperwinkel, als man will, weg-gelassen: der Eulerschc Lehrsatz gilt für das übrig bleibendePolyeder immer; denn, läßt man einen Körpcrwinkcl nach demandern weg, so entstehen nach und nach neue Polyeder, vonwelchen je zwei, auf einander folgende, immer für den obigenFall passen.

Läßt man also, überhaupt, von dem gegebenen Polyeder alleKanten weg, in welchen sich die Neigung nicht verändert: die Zahlder Körpcrwinkcl mag dadurch vermindert werden, oder nicht: so giltfür das übrig bleibende Polyeder der Eulerschc Lehrsatz allemal;das heißt: wenn s, Ir, a, für dieses Polyeder, die Werthe derGrößen L, A aus dem gegebenen Polyeder sind: so ist immers-j-Ii—a^8-s-II —A-^-2.

In dem übrig bleibenden Körper verändern sich aber nun dieNeigungen in den Kanten sämmtlich, weil man alle die Kanten,in welchen sich die Neigungen nicht ändern, weggelassen hat; alsopaßt das übrig bleibende Polyeder auf den ersten Fall, und folglich