Anmerkungen

Vergleicht man diesen Werth mit der oben gefundenen Grenze, soerhält man

N< 45 — 8.

Aber es kann nicht zugleich N<s45 und N<s45— 8 sein. Alsoist es unmöglich, daß sich die Neigungen in allen Kanten des Po-lyeders zugleich verändern, ohne den Zusammenhang der Ebenen,welche die Oberfläche des Polyeders bilden, aufzulösen.

Zweiter Fall.

Man setze, die Neigung ändere sich nicht in allen Kanten zu-gleich, sondern bleibe in einigen unverändert.

Fig. 2l)4. 14 sei eine dieser letzten Kanten; so kann mandieselbe ganz übergehen, und die beiden an einander stoßendenSeitenflächen 14(4 und L14I4 in eine, nicht ebene, aber vonder unveränderlichen Figur IDtlHI umschlossene, Fläche vereinigen.5si 14^ und -4' mögen bezeichnen, was aus 5, II und nachUebergehung einer Kante, wird: so ist 14^—11— 1 und^—1; aber 5^—5, weil die Zahl der Körperwinkel noch dienämliche ist. Also ist 5^ -st II — — 5 -st 14 — 2, worausfolgt, daß der Eulersche Satz auch noch für den Körper Stattfindet, welcher eine Kante und eine Seitenfläche weniger hat,indem zwei Seitenflachen in eine einzige, nicht ebene, vereinigtworden sind.

Nimmt man von diesem neuen Körper wiederum eine Kante,in welcher die Neigung unverändert bleibt, weg, so werden,durch die Weglassung dieser Kante, von Neuem zwei an cinan-derstoßende Seitenflächen in eine vereinigt, und es wird ebenso bewiesen, daß der Eulersche Lehrsatz auch für den drit-ten, durch die Weglassung zweier Kanten entstandenen, KörperStatt findet.

So kann man so viele Kanten, als man will, weglassen, insofern nur nicht die Weglassung eines Körpcrwinkels damit verbun-den ist. Der Eulersche Lehrsatz gilt für den übrig bleibendenKörper immer. Dieser Umstand läßt sich auch direct und allgemeinzeigen, wenn man sich des Beweises erinnert, den wir von demEulerschen Lehrsatze gegeben haben. Denn, dieser Beweis setztnicht voraus, daß die Seitenflächen eben sind; er gilt eben sowohl, wenn auch die Umrisse der Seitenflächen nicht in Ebenenliegen. Er setzt blos voraus, daß jeder Umriß einem Kugelviel-ccke entspreche, und daß die Summe der Flächen dieser Vieleckeder ganzen Kugclfläche gleich sei. Es ist selbst nicht einmal nöthig,