zu den Elementen der Geometrie. Anm. 12.

Ist also 8 die Zahl der Körpcrwinkel, so ist 4is>48, wobeidas Zeichen s> die Gleichheit mit bedeutet.

Nun bemerke man, daß allemal zwei auf einander folgendeKanten eines Körpcrwinkels zu einer Seiten-Ebene des Polyeders,und nur zu einer gehören. Also ist die ganze Zahl der Zeichen-wechscl, für die auf einander folgenden Kanten eines Körperwinkels,der ganzen Zahl der Zcichcnwechsel, für die auf einander folgendenSeiten jeder Seiten-Ebene, gleich; denn es findet kein Zeichenwcch-sel in dem einen Systeme Statt, ohne einen ähnlichen Wechsel indem andern.

In jeder dreieckigen Seitenflache kann aber die Zahl der Zei-chenwechsel nicht größer als zwei sein; denn, läßt man die Reihe— ff- oder die Reihe — — in sich selbst fortlaufen; soerhält man immer nur zwei Zcichcnwechsel.

Für jede viereckige Seitenfläche ist offenbar die Zahl der Zci-chcnwechsel höchstens vier.

Ucberhaupt ist die größte Zahl der Zeichcnwechsel, rund umeine Seitenfläche, wenn die Zahl ihrer Seiten gerade, z. B. 2>iist, ebenfalls gleich 2n; nämlich dann, wenn die Seiten abwechselnddie Aeichen ff- und — haben.

Ist aber die Zahl der Seiten einer Seitenfläche ungerade,z, B. — 2nff- 1; so ist die größte Zahl der Zeichenwechsel nur2», weil, wenn man den Seiten abwechselnd die Zeichen ff- und —giebt, die erste und letzte nothwendig einerlei Zeichen haben, welcheseinen Zeichenwechsel weniger ausmacht, als Seiten.

Nun sei s die Zahl der Dreiecke, b die Zahl der Vierecke,e die Zahl der Fünfecke u. s. w., welche sich in der Oberfläche desgegebenen Polyeders befinden; so folgt aus dem eben Bewiesenen,daß die ganze Zahl der Zeichenwechsel, rund um die Seitenflächen,nicht größer als 2 a bei den dreiseitigen, 4 b bei den vierseitigen,4o bei den fünsseitigen, »6 cl bei den sechsseitigen u. s. w. Seiten-flächen sein kann. Also ist

N<2aff-4bff-4aff-6äff-6öff-8l'ff-8Z...

4 sei die Zahl der Kanten des Polyeders, und ll die Zahl seinerSeitenflächen, so ist

2 4. — Z a ff- 4 b ff-6 o ff-6 ck ff-7 ° ff-8 I ff-9 8...ll — a ff- b ff- c: ff- ä ff- o ff- 1 ff- Z...

Nun ist nach dem Eulerschen Lehrsatze 3 ff-ll —4 ff-2; also ist48 —8 ff-44—4!l, und, wenn man die obigen Werths von 4und II substituirt,

4 3 ^8 ff-2-> ff-4b ff-6 aff-8 äff-10 a...