A n m erkungcn

lich nur zwei Reihen vorkommen, die eine mit -I-, die andere mit—, welches bewicsenermaßcn nicht möglich ist.

Folglich kann es, rund um das Vieleck, nicht weniger, alsvier Zcichcnwcchsel geben.

Zu saß. Was hier für Kugelvielecke bewiesen ist, laßt sichunmittelbar auf Körperwinkcl anwenden, deren Maß die Vieleckesind. Wenn also ein konvexer Körperwinkel gegebenist, welcher von mehr als drei ebenen Winkeln um-schlossen wird, und man verändert, auf irgend eineWeise, die Neigung in den Kanten, jedoch so, daß derKörperwinkcl nicht aufhört convex zu sein, setzt dar-auf zu jeder Kante eines der Zeichen -P oder —, jenachdem die Neigung in der Kante zu- oder abnimmt,kein Aeichen aber zu den Kanten, in welchen sich dieNeigung nicht ändert: so trifft man, wenn man rundum das Vieleck geht, wenigstens vier Zeichenwechselvon einer Kante zur andern an.

Mit Hülfe dieses Satzes, und des Eul ersehen Lehrsatzes vonden Polyedern (7s B. 26r S.), können wir nun folgenden Lehrsatzganz allgemein beweisen.

Lehrsatz.

Wenn die Körperwinkel eines convexen Polyederssä mmtlich von mehr als drei ebenen Winkeln um-schlossen sind, so ist es unmöglich, die Neigung derEbenen dieses Körpers so zu verändern, daß ein zwei-tes, von den nämlichen, und in derselben Ordnungwie beim ersten Polyeder, auf einander folgenden, Ebe-nen umschlossenes Polyeder entsteht.

Bei dem Beweise dieses Satzes sind zwei Fälle zu unterschei-den, nämlich: ob alle Winkel in den Kanten sich verändern, odernur einige.

Erster Fall.

Man setze, die Neigungen in den Kanten würden alle zugleichverändert, und Ii sei die Zahl der Aeichenwechsel von einer Kantezur andern, rund um jeden Körperwinkcl.

Im zweiten Lchnsatze ist gezeigt worden, daß die Zahl derZeichenwechsel, für jeden Körperwinkel, nicht kleiner als viersein kann.