zu den Elementen der Geometrie. Anm. 12. 82!)

zunimmt, und das Zeichen — zu dem Scheitel jedesWinkels, welcher abnimmt, kein Zeichen aber zu denWinkeln, die sich nicht andern- so behaupte ich, daß,wenn man rund um das Bieleck geht, wenigstens vierZeich en w cchsel, von einem Scheitel bis zum andern,Statt finden werden.

Denn, wenn, erstlich, n die Zahl der Winkel des Vielecks ist;so können nicht n—2 auf einander folgende Winkel entweder allezunehmen, oder einige von ihnen zunehmen, andere unverändertbleiben; weil sonst, zufolge des Zusatzes zum vorigen Lehnsatze, dieden >r — 2 Winkeln gegenüberliegende Seite des Nielecks zunehmenwürde; welches der Voraussetzung, daß die Seiten des Vielecks un-verändert bleiben sollen, entgegen ist. Aus demselben Grunde kön-nen nicht die n — 2 auf einander folgenden Winkel alle zugleich ab-nehmen, oder einige von ihnen abnehmen, andere unverändert blei-ben. Mithin muß nothwcndig bei den n—2 aufeinander folgen-den Winkeln wenigstens ein Zcichcnwechsel Statt finden; und umso mehr muß dieser Aeichcnwechsel in der Reihe der n auf einan-der folgenden Winkel Statt finden, wenn man rund um dasVieleck geht.

Zweitens können die Veränderungen der Winkel des Vielecksnicht von der Art sein, daß nur eine Reihe von -st und eine Reihevon — entsteht, so, daß rund um das Vieleck nur ein Zeichen-Wechsel Statt fände. Denn, es mögen zum Beispiel A, L, L(Fig. 237) die drei mit -j-, und I), 1', L die vier mit —bezeichneten Winkel sein (welche Voraussetzung den Fall mit um-faßt^ daß etwa eine Reihe, wegen unverändert bleibender Winkel,weniger Zeichen enthält). Stellt nun die Figur den anfanglichenAustand des Vielecks vor, so muß die Diagonal LI) zunehmen,wenn man alle Winkel U, L vergrößert, oder einige von ihnen.Aber, da die nämliche Diagonal LI) dem Vielecke L1RI) zugehört,dessen andere Seiten unveränderlich sind; so muß sie abnehmen,wenn die Winkel 1" und H abnehmen, oder wenigstens unverändertbleiben, wenn, von den vier Winkeln I), L, L, nur D und L,oder gar nur einer, abnehmen; also findet die Voraussetzung nichtStatt; mithin kann die Veränderung der Winkel nicht von derArt sein, daß nur zwei Reihen Statt finden, die eine mit -j-, dieandere mit —.

Drittens ist es nicht möglich, daß man, wenn man rund umdas Vieleck geht, nur drei Zeichenreihen antreffe; denn, in diesemFalle würden die erste und die dritte Reihe einerlei Zeichen haben,und also unmittelbar auf einander folgen, folglich nur eine einzigeReihe ausmachen; folglich würden, bei dem ganzen Umgange, eigent-