Anmerkun g en

Nun setze man, daß sich der Winkel L verändere, die drei an-dern L, I). 15 aber dieselben bleiben. Zieht man die Diazonalen^15 und 15l5, so ist klar, daß sich diese Diagonalen nicht verändernwerden; auch die Winkel und 1DI1 nicht; man hat also wie-der ein Kugeldrcieck ^.(51", dessen Seiten ^15 und 151' unveränderlichsind, wahrend sich, in demselben, der Winkel ^1515 um eben so viel,als der Winkel L in dem Vielecke verändert, woraus wiederumfolgt, daß die Seite ^ größer wird, wenn der Winkel 15 zunimmt,und kleiner, wenn der Winkel L abnimmt.

Offenbar lassen sich dieselben Schlüsse auf die Veränderungender Winkel II und 15 anwenden, und passen eben so wohl auf Ku-gelviclecke von mehr als drei Seiten. Also ist in allen Fallen dasResultat der Behauptung des Satzes gewiß, in sofern nur dasVieleck, nach und vor der Veränderung, convex ist. Diese Bedin-gung ist nothwcndig. Denn, wenn z. B. der Winkel 15 so weitabnähme, daß der Punct 15 in die Diagonale ^15 siele: so wäre^15 ein Minimum; und wenn man nun fortführe, den Winkel 15,über diesen Punct hinaus, zu verkleinern; so würde offenbar dieSeite äI5 zu- statt abnehmen. Im letzten Falle aber würde elb'15zu einem einspringenden Winkel werden, und das Vieleck würde auf-hören, convex zu sein.

Zusatz. Wenn Alles bleibt, wie vorhin, und mehrere, derletzten Seite -^1' gegenüberliegende, Winkel zunehmen, keiner vonihnen aber abnimmt, so nimmt die Seite/llss durch die vereinte Wirkungder Veränderungen, nothwendig zu. Das Gegentheil erfolgt, wennmehrere, der Seite ^15 gegenüberliegende, Winkel abnehmen, undkeiner von ihnen zunimmt.

Denn, wenn, durch die vereinte Wirkung der Zu- oder Ab-nahme, die Winkel L, (5 etc. des Vielecks in Lst L etc.übergingen; so könnte man allmälig aus dem gegebenen Vielecke erstein solches machen, welches nur einen veränderten Winkel ^5 hat;aus diesem wieder ein anderes, welches nur zwei verminderte WinkelL5 und enthalt; und so weiter. Für jeden Uebergang aber istder Satz anwendbar, und giebt immer das nämliche Resultat.