zu den Elementen der Geometrie. Anm. 12. 32?

Fig. 286. 8 sei irgend einer der Korperwinkel des Polyeders,und aus 8 eine Kugelfläche beschrieben, deren Durchschnitte, mitden Seiten-Ebenen des Körpcrwinkels, das Kugelvieleck AlltlOLLbilden. Die Seiten dieses Vielecks All, IlL Mo. dienen zum Maßeder ebenen Winkel A8ll, L8L etc., und sind folglich unveränder-lich; die Winkel A, II, L «tu. des Vielecks sind die Maße derNeigung je zweier an einander stoßender Ebenen des Körperwinkels.So ist der Winkel II das Maß der Neigung der Ebenen A8llund 8IZL, welche wir, der Kürze wegen, Neigung in derKante 8Il nennen wollen; der Winkel L ist das Maß der Nei-gung in der Kante 8L: und so weiter.

Wir können also die Veränderungen der Gestalt jedes Kör-perwinkels 8 aus den Veränderungen des Kugclvielecks AiZLDLLschließen, dessen Seiten unveränderlich sind, dessen Winkel aber be-liebig zu- oder abnehmen können, jedoch mit der Einschränkung,daß das Vieleck immer convex bleibe. In solchen Bielecken habennun die Veränderungen der Winkel merkwürdige Gesetze, welche wirin den beiden folgenden Lchnsätzcn auseinandersetzen wollen.

Erster Lohnsatz.

Fig. 286. Alle Seiten eines Kugelvielecks, All,1ZL, LI), DL, bis auf die eine /IL, sind gegeben.Verändert man nun einen von den, der Seite AL ge-genüberliegenden Winkeln ll, L, ll, L, während dieübrigen unverändert bleiben; so behaupte ich, daß dieSeite A L größer wird, wenn der Winkel zunimmt,und kleiner, wenn der Winkel abnimmt. Ucbrigenssoll das Vieleck in jedem Falle, vor und nach der Ver-änderung, convep sein.

Man setze zuerst: der Winkel kl werde verändert; die drei an-dern, ll, I) und L aber, bleiben unverändert. Zieht man llL, soerleidet die Figur LLDLL gar keine Veränderung, und llL ist un-veränderlich- Man hat also ein Kugeldreieck AllL, dessen SeitenAll und llL unveränderlich sind, dessen Winkel /LDL aber sich umeben so viel verändert, als der Winkel ^llll des Vielecks, weil derTheil LlZL unverändert bleibt. In diesem Dreiecke wächst, einerbekannten Eigenschaft zufolge*), AL, wenn der Winkel AIlL zu-nimmt, und nimmt ab, wenn der Winkel AllL abnimmt.

*) Dieselbe wird eben so bewiese», wie der zehnte Satz im erste»Buche bei geradlinigen Dreiecken. An>». d. Vers.