zu den Elementen der Geometrie. Anm. 12. 325

Polyeder voraussetzt. Um diese Schwierigkeiten zu vermeiden, hieltenwir es für angemessen, die Erklärung der Aehnlichkeit der Körper inzwei Theile zu theilen. Wir gaben zuerst die Erklärung ahnlicherdreiseitiger Pyramiden; und dann erklarten wir diejenigen Körper fürahnlich, deren Grundflächen ahnlich sind, und deren ähnlich lie-gende Scheitel, außerhalb der Grundflächen, durch ähnliche dreiseitigePyramiden bestimmt werden *).

Diese Erklärung erfordert für die Grundflächen, wenn man siedreiseitig annimmt, zwei Bedingungen, und für jeden Scheitel,außerhalb der Grundflächen, drei; so, daß, wenn 8 die Zahl derKörperwinkel der beiden Polyeder ist, die Aehnlichkeit derselben2-j-3(8 —3) gleiche Winkel, oder 38—7 Bedingungen, er-fordert. Keine dieser Bedingungen ist überflüssig, oder in den an-dern schon mit begriffen. Denn, es ist von zwei Polyedern dieRede, für welche blos gegeben ist, daß sie gleich viele Scheitel oderKörperwinkcl haben sollen. Alsdann sind zur Aehnlichkeit dieserbeiden Polyeder die 38—7 Bedingungen unumgänglich, und ohnedaß eine einzige fehlen dürfte, nothwcndig. Setzt man dagegen noch,daß die beiden Polyeder gleichartig sein sollen, das heißt, daß siegleich viel Seitenflachen, und daß die Seitenflächen, in beiden, dienämlichen Seiten haben sollen: so enthält die zweite Voraussetzung,in dem Falle, wenn die Seitenflächen mehr als drei Seiten haben,schon an sich selbst Bedingungen; und um eben so viel, als ihrersind, vermindert sich die Zahl 38—7, so, daß statt 38 — 7Bedingungen nur A — 1 nothwcndig sind. Man sehe darüber dieLte Anmerkung. Hieraus erhellet die Ursache der Schwierigkeiten ei-ner guten Erklärung ähnlicher Körper. Denn man kann dieselbenauf zweierlei Weise: entweder als Körper von einerlei Art, oberblos als Körper mit gleich vielen Scheiteln betrachten. Nur imletztern Falle fällt die Schwierigkeit weg, und die 38 — 7Bedingungen, welche die Erklärung verlangt, müssen, wenn dieKörper ähnlich sein sollen, alle erfüllt werden. Man kann dannum so sicherer schließen, daß die Körper auch von einerlei Artsind. Da übrigens unsere Erklärung vollständig ist, so habenwir aus derselben die Erklärung Robert Simson's, als Lehrsatz,abgeleitet.

Man sieht hieraus, daß es möglich ist, in den Elementen denLehrsatz von der Gleichheit der Polyeder zu übergehen. Da indessendieser Lehrsatz an sich selbst interessant ist, so wird man vielleicht

*) Diese Bestimmung der Scheitel ist nur nicht die einzige mögliche.

An in. d. lieber;.