zu dcn Elementen der Geometrie. Anm. 11.12. 323

und dabei zugleich die von Robert Simson, in seiner Ausgabe derElemente S. 386 u. f., über diesen Gegenstand gemachten Bemer-kungen in Betrachtung ziehen.

Zuerst ist, mit Robert Simson, zu erinnern, daß die IgteErklärung eigentlich keine Erklärung, sondern vielmehr ein Lehrsatzist, der bewiesen werden muß; denn es ist nicht von selbst klar, daßzwei Körper blos deshalb nothwendig gleich sind, weil sie gleicheSeitenflächen haben. Der Satz muß entweder durch Jneinander-legen, oder, wie es sonst angeht, bewiesen werden. Ferner sinddie Mängel des zehnten Satzes auch dem neunten eigen. Denn, solange der zehnte Satz nicht bewiesen ist, kann man meinen, daßauch ungleiche und unähnliche Körper mit gleichen Seitenflachenmöglich seien. Dann aber würde ein dritter Körper, dessen Seiten-flächen denen der beiden ersten Körper ahnlich sind, der neunten Er-klärung zufolge, beiden zugleich, und folglich zweien Körpern zugleich,von verschiedener Gestalt, ähnlich sein; welches ein Widerspruch,oder wenigstens nicht dem Begriffe gemäß ist, den man gewöhnlichmit dem Worte ähnlich verbindet.

Mehrere Sätze im Ilten und 12tcn Buche des Euclidcs sindauf die öte und Ivtc Erklärung gegründet; unter andern der 28steSatz des Ilten Buchs, von welchem die Ausmessung der Prismenund Pyramiden abhängt. Also scheint es, daß hier die Elementedes Euclides Unbewiesenes enthalten *). Allein ein nicht zu über-gehender Umstand vermindert diesen Verdacht.

In dcn Figuren nämlich, aus welchen Euclid die Gleichheitoder Aehnlichkeit beweiset, indem er sich auf seine 9te und Ivtc Er-klärung stützt, werden die Körperwinkel niemals von mehr als dreiebenen zusammenstoßenden Winkeln umschlossen. Liegen aber zweiKörpcrwinkcl zwischen drei nämlichen ebener. Winkeln, so ist anmeisteren Stellen des Euclides klar genug bewiesen, daß diese Kör-perwinkel gleich sind. Ferner sind in zwei Polyedern, wenn siegleiche oder ähnliche Seitenflächen haben, die ahnlich liegenden Kör-perwinkel aus einer gleichen Zahl von ebenen, gleichen Winkeln zu-sammengesetzt. So lange also nicht mehr als drei ebene Winkelum einen Körperwinkel liegen, sind nothwendig die Körperwinkelgleich. Sind aber nun die ähnlich liegenden Seitenflächen und Kör-

Auch unter den Grundseitzen des Euclidischen ersten Buchs ist dercilfte, auf welchem die Theorie der Parallelen beruht, eigentlich ein Satz,der des Beweises bedarf. Und alle Sätze, die von der Theorie der Parallelenabhängen, sind, auf die gewöhnliche Art, ebenfalls nicht strenge bewiesen.

Anm. d. Ucbers.

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