320 Anmerkungen
Fig. 286. 4LL sei eines der Kugeldreiecke, deren gemein-schaftliche Grundlinie 4L—c, und deren gegebene Flache 4-st L-st L — ?r — 8 ist. ILX sei ein unbestimmtes Perpendikel auf dieMitte der Grundlinie -4L. Macht man IL einem Quadranten gleich,so ist L der Pol des Bogens 4L, und der Bogen LLL, durch diePuncte L, L, ist auf -4L senkrecht. Es sei U)—j,, LI) —so geben die rechtwinkligen Dreiecke 4Li) und LLI), ,'n welchenL-L — I>> LL — o, 4L — x -st c, z;» ^ — r ^cos s — cos g cos ( p — ^ ^k> — cos cos (st -st ä o).Oben aber wurde gefunden:
1 -st cos a -st cos k> -st cos c
coi ^ 8 — - .
sin a sin k> sin c
Setzt man in diesen Ausdruck die Werths von cos a -st cos b —Zcos <g cos st cos ^ c, 1 -st cos c — 2 cos ^ c^ und sin b sin L
— sin c sin L — 2 sin ^ c cos ^ c sin L; so erhält mancos ^ c -st ^s st cos g
sin a sin e sin L
In dem Dreiecke LLL ist auch sin a sin L — sin <z; also ist
cos I c-st cos n cos c,
cot ^ 8 — 4. . , oder cos st cos <z — cot ^ 3
sin ^ c sin ^
sin ^ c sin g — cos c, welches Verhältnis zwischen st und g dieLinie bestimmt, in welcher alle Puncte L liegen.
Man verlängere I? um ?X —x, ziehe XL, und nenne XL
— so findet sich, in dem Dreiecke LXL, in welchem LL
— 4. ?r —und der Winkel XLL ?r — p ist, die Seite XLaus der Formel cos XL — cos XLL sin LX sin LL -st cos I'Xcos ?L, oder
cos -st sin cz cos x — sin x cos g cos st.
Substituirt man in dieselbe für cos g cos x seinen Werth cot-^3sin ^ c sin g — cos ^ L, so erhalt man
cos—sinx cos ^ c-stsin (cos x— sin x cot ^8 sin ^c).Daraus folgt, daß, wenn man cos x — sinx cot ^ 8 sin^c —o,oder cot x — cot ^ 8 sin ^ c setzt, cos ^ sin x cos ^ c, undfolglich der Werth von ^ constant ist.
Nimmt man also, nachdem IL senkrecht auf die Mitte derGrundlinie 4L gezogen worden, jenseit des Pols, den TheilLX, so, daß cot LX — cot ) 8 sin ^ c ist: so liegen die Scheitelaller Dreiecke, von gleicher Grundlinie c und gleichem Inhalte 8,in dem kleinen Kreise, der aus dem Puncte X, als Pol, mit einemHalbmesser XL beschrieben ist, für welchen cos XL — sin LX