zu den Elementen der Geometrie. Anm. 10. 81?

Erste Aufgab e.

Den Flächeninhalt eines Kugeldreiecks aus sei-nen drei Seiten zu finden.

Man substituire die, in b, c ausgedrückten, Werthe vonsin 0 und eos L in die Formel

cot st a cot st 1) st cos 0

cot 2 ^

sin <1cos o cos 1»

sin a sin b1 st cos a Ist- cosb

und cot st u cot st b

, woraus folgt

cos L st- cot st o cot st b

1 st- cos o st- cos l) st- cos csinn sin b

Ferner gicbt der Werth von cos 0:

cos c—cos (ast-b) 2 sin st sastdstc) . sinsts.astb—c)

1 st- cos 0 .——— ;

«irr a sin 1> sin s sin b

1—cos L —

cosso—b)—cos c 2sinst (äste—b)sin st(bstc—a)

sin o sin 1> sin s sin b

Multiplicirt man diese beiden Größen in einander, und zieht ausdem Producte die Quadratwurzel; so erhält man:

2/ ssinstsastdstc)sin sts-lstb-cssinstss-dstcssinstsbstc-ass

sin a sin b1 st- cos s st- cos 1> st- cos c

sin 0 — -

also

cotstL —

2^ssinststostt>stL)sii>sts!>st-b-o sinstsll-dstc)sinst(bst-L-o)^

Diese Formel enthält das Resultat. Dasselbe kann aber noch einfa-cher ausgedrückt werden.

-r ^ cotst a cotstb st cos 0

Aus der anfänglichen Formel cotstS^—- st

sin L

folgt nämlich 1 st cot st 8' oder

1 cot st cot st st 2 not st a cot st b cos 0 st 1

sin st 8' sin

Nun giebt der Werth von cos 0, 2cot st a cot st d cos t!

cos c— cos-i cos b ^ .

— — .. Setzt man in den Zahler, statt cos a,

2sin st sin st 1>2cos b, cos o, deren Werthe 1—2sin st n^, 1 — 2 sin st b°, 1 —2siu st c^, und reducirt; so kommt

2cot st a cot st k cos L

sin st s" st sin st b' — sin st c^

sin st eck sin st

2.