An merkungcn

Hälften der den gleichen Winkel einschließenden Seiten unigekehrtproportional sind.

Zweitens. Um über einer gegebenen Seite 011, mit dem näm-lichen Winkel 0, ein, dem gegebenen Dreiecke 0/1U an Inhaltgleiches, Dreieck 01)2 zu beschreiben, imi,ß 02 durch die Pro-portion

taug Z (iL : taug Z OX — tsuZ I OL : iang Z 02bestimmt werden.

Drittens. Um mit einem Winkel, dessen Scheitel 0 ist,ein gleichschenkliges Dreieck 1102, mit OL.L von gleicher Größe, zubeschreiben, muß tanz Z 011, oder tcuix Z 02, die mittlere Propor-tionale zwischen taug Z 0/1 und tanZ Z OL sein.

Viertens. Die nämliche Formel cotZ 8-

Lot äa Lot?.!) Los 0sin 0

kann zu einem sehr einfachen Beweise des Lösten Satzes im 7tenBuche dienen, welchem zufolge von allen, mit zwei gegebenen Sei-ten a und U beschriebenen, Kugeldreiecken das größte dasjenige ist,in welchem der Winkel 0, zwischen den gegebenen Seiten, derder Summe der andern beiden Winkel X und L gleich ist.

Fig. 283. Denn, man beschreibe mit dem Halbmesser 06— 1, den halben Umfang VA6, und mache den Bogen 6X^0.Auf der andern Seite des Mittelpuncts nehme man 02 cot Z acot Zu, ziehe 2X, und auf 26 den Bogen XX senkrecht.

2X

Zn dem rechtwinkligen Dreiecke 2XX ist cot 2 ^ —

cot Z a cot Z U -j- cos 0sin 0

also ist 2 — Z 3; folglich ist die

Fläche 8 ein Maximum, wenn es der Winkel 2 ist. Offenbar aberist der Winkel N20, wenn man an den Umfang die Tangente2lVI zieht, der größte unter den Winkeln 2. Alsdann ist 11120^ b106 — Z?r; folglich ist das, mit zwei gegebenen Seiten be-schriebene, Kugeldreieck ein Maximum , wenn Z 3 — 0 — -Z?r;oder 0 — X -s- L ist; welches mit dem vorhin erwähnten Satzeübereinstimmt.

Man sieht zugleich, daß es kein Maximum geben würde, wennder Punct 2 innerhalb des Kreises läge, das heißt, wenn cot Z acot ZU -<s 1 wäre. Aus dieser Bedingung folgt cot Z a tang-ZK. tanz sZTr^. Zg) tgnA ^ ^ ?r — Zu <ZU, und 7r<sll^-U;welches mit der Anmerkung zu obigem Satze übereinstimmt.