zu den Elementen der Geometrie. Anm. 3. 10. 315

per in einer und derselben Kugel beschrieben sind, so liegen sie auchum eine und dieselbe Kugel; und ilmgekehrt. Dieselbe Eigenschaft

haben das Hexaeder und Octaeder, weil der Werth von —, für

r

beide, t-mg s er . lang s?r ist.

Noch ist zu bemerken, daß die regulären Polyeder nicht dieeinzigen Körper sind, welche von gleichen und regelmäßigen Vieleckenumschlossen werden; denn, legt man, an eine gemeinschaftliche Ebene,zwei gleiche und regelmäßige Tetraeder, so entsteht ein Körper dervon sechs gleichen und gleichseitigen Dreiecken umschlossen ist. Sokönnte man auch einen Körper beschreiben, der von zehn gleichen undgleichseitigen Dreiecken umschlossen ist; aber die regulären Polyedersind die einzigen, in welchen auch die Körperwinkel untereinander gleich sind.

Zehnte Anmerkung.

Ucbcr den Flächen-Inhalt des Kugcldrciecks.

Der Halbmesser der Kugel sei 1, der halbe Umfang einesgrößten Kreises n; a, 1>, <? sollen die drei Seiten des Kugeldreiecks,X, U, 0 die Bogen größter Kreise sein, welche die gegenüberliegen-den Winkel messen. -s-11-si 0 — ?r sei gleich 8; so ist, dem zuFolge, was im Texte bewiesen worden (7s B. 23 S.) die Flächedes Kugeldreiecks gleich dem Producte des Bogens 3 in den Halb-messer. Diese Fläche ist also 8 selbst. Nun ist, nach den Neper-schen Analogieen,

-ss L (1 a — U a -ss Ulan" : eos : eos >.

2 2 2 2

Nimmt man hieraus den Werth von ts»!; ^ (H.-s-L), so findetman leicht den Werth von lang ^ (ei -j- 11-HL) — — aol > 8,nämlich i

, „ L0t U L0t 1> -I- LOS 0L0t ^ 3 — . ? ^ —

sin 0.

Diese einfache Formel dient zur Berechnung des Flacheninhalts desDreiecks, wenn man zwei Seiten s und U und den eingeschlossenenWinkel 0 kennt. Aus derselben lassen sich auch noch mehrere Fol-gerungen ziehen.

Erstlich. Wenn sich der Winkel 0! und das Product cot ^ sLot tu nicht verändern, so bleibt die, durch 8 ausgedrückte, Flächedes Dreiecks (Fig. 282) ebenfalls dieselbe. Also sind die beidenDreiecke 0^11 und 0i)0 gleich groß, wenn lang ) 0^ : tanz ä 01)— taug01Ü : tanZ ^ 011 ist, das heißt, wenn die Tangenten der