zu den Elementen der Geometrie. Anm. 9.

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gehörige Bogen, — n; so ist a — 6 ^ c ^ ?r; also istcos 2 — cos 2^ cos 2 sl — cos 2) cos 2

cos L ^

1 -p- cos 2.

sin 2^ 1 — cos 2,2

Da NUN cos ?r — , so ist cos 9 ^

Fig. 244. Im Hexaeder oder Würfel sind die drei

ebenen Winkel, welche den Körperwinkel 4 bilden, rechte; also ist2^b^-c —und cos 2 — o; also cosL—o. Folglichist der Winkel zwischen zwei aneinanderstoßenden Seitenebenen einrechter.

Fig. 246. Im Octaoder ist, wenn man a—1)48

— hermacht, b — 941 — ^ ?r, c ^ 148 ?r ; also

cos Z er — cos v er^ ^ . , , —-—,—r—. Da NUN cos^?r —o, cos Her—

cos 9:

sin In-

sin I er --e ^ ^3; so ist cos 9 — — -^; woraus man sieht, daßdie Neigung der Seitenflächen des Octaedcrs das Supplement derNeigung der Seitenflachen des Tetraeders ist.

Fig. 246. Im Dodecaeder wird ein Körperwinkel vondrei gleichen ebenen Winkeln gebildet, deren jeder der Winkel einesregelmäßigen Fünfecks ist. Macht man also a — 1>—c —

so ist cos 9

cos 2 zer — — sin ^9 ?r ———^ ;

also cos 0tsr-Z <g — — 2.

1 -j- cos 21— /S-/S

/s

sin <3

/S

und

fig. 247. Zm Jcosacder ist c^9W'9'

er, a-

6/W4/ ^ ^ ?r. Dieses giebt cos 9 mr:

z (1 - ^6) - z ^ - /6

cos ^ er — cos -t, ^

; also sin 9 —

So lassen sich die Winkel zwischen den Seitencbenen der fünfregulären Körper ausdrücken. Man kann diese Ausdrücke auch ineine einzige Formel zusammenfassen.

Fig. 248. Es sei nämlich n die Zahl der Seiten jeder Fläche,m die Zahl der ebenen Winkel, welche in einem und demselben Kör-pcrwinkcl zusammenstoßen. Beschreibt man, aus dem Mittclpuncte9, mit dem Halbmesser 1, eine Kugelfläche, welche die Linien 94,90, 99 in x, ej, c schneidet; so entsteht ein Kugcldreieck p)gr, in

welchem man den rechten Winkel r, den Winkel p> ^ , und

in