Anmerkungen

Die Aufgabe würde viel einfacher fein, wenn man nicht dieArt des Polyeders, sondern blos die Zahl seiner Körperwinkel 8kennte. Dann bestimme man nämlich drei beliebige Scheitel, ver-mittelst eines Dreiecks, aus drei gegebenen Stücken. Dieses Dreieckkann als Grundfläche des Polyeders angesehen werden. Die Zablseiner Scheitel, außerhalb dieser Grundfläche, ist noch 8— Z. Danun die Bestimmung jedes Scheitels drei Stücke erfordert, so istklar, daß die ganze Zahl der, zur Bestimmung des Polyeders not-wendigen, Stücke 3 st-3 (8 — 3) oder 38 — 6 ist.

Es sind also 3 8 — 7 Bedingungen für die Aehnlichkeit zweierPolyeder mit 8 Körperwinkeln nothwendig.

Neunte Anmerkung.

Ueber die regelmäßigen Polyeder.

(Man sehe de» Anhang zum siebenten Buche.)

Wir haben im zweiten Satze jenes Anhanges die Existenz derfünf regelmäßigen Polyeder, das heißt, die Möglichkeit, eine gewisseZahl gleicher Ebenen zu einem, in seiner ganzen Ausdehnung gleich-förmigen, Körper zu verbinden, bewiesen. Gewöhnlich setzt manentweder diese Verbindung voraus, ohne ihre Möglichkeit zu zeigen,oder man beweiset sie, wie Euclidcs, durch verwickelte, und schwerverständliche, Figuren.

Die Ausgaben: die Neigung zweier an einander stoßendenSeitenflächen eines regelmäßigen Polyeders, und die Halbmesser derin und um dasselbe beschriebenen Kugeln zu finden, crfodern, nachder 3tcn und 4tcn Aufgabe des Anhanges, nur ganz einfache Con-structioncn; es ist aber gut, die Ausgabe auch trigonometrisch aus-zulösen, welches neue Sätze gicbt.

Fig. 222. Die drei ebenen Winkel, um den Körperwinkcl 0,sollen » , k> , a heißen, und es werde die Neigung der Ebenen ver-langt, in welchen » und k> liegen. Man beschreibe, aus dem Mit-tclpuncte 0, das Kugeldreieck in welchem also die drei Seiten

LLgegeben sind. Der Winkel tü, zwischenden Seiten» und k>, wird gesucht. Nun ist, nach einer bekannten

c — cos » cos d

trigonometrischen Formel, cos —

sin s, SM k>

Formel, auf die fünf regelmäßigen Polyeder angewandt, gicbt dieNeigung je zweier, an einander stoßender, Ebenen dieser Körper.

Fig. 243. Im Tetraeder sind die drei ebenen Winkel,welche den Körperwinkel 8 bilden, Winkel gleichseitiger Dreiecke.Es sei also der halbe Umfang, oder der zu zwei rechten Winkeln